MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facavg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facavg 13128
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0readdcl 11395 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
21rehalfcld 11317 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ)
3 flle 12640 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
5 reflcl 12637 . . . . . 6 (((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ)
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ)
7 nn0re 11339 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
9 letr 10169 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
106, 2, 8, 9syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
114, 10mpand 711 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
12 nn0addcl 11366 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 11392 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑀 + 𝑁))
14 halfnneg2 11301 . . . . . . 7 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
151, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
1613, 15mpbid 222 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
17 flge0nn0 12661 . . . . 5 ((((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
182, 16, 17syl2anc 694 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
19 simpl 472 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
20 facwordi 13116 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))
21203exp 1283 . . . 4 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))))
2218, 19, 21sylc 65 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀)))
23 faccl 13110 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
2423nncnd 11074 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
2524mulid1d 10095 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
2625adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
27 faccl 13110 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2827nnred 11073 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
2928adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
3023nnred 11073 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
3123nnnn0d 11389 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ0)
3231nn0ge0d 11392 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑀))
3330, 32jca 553 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
3527nnge1d 11101 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑁))
3635adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑁))
37 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
38 lemul2a 10916 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
3937, 38mp3anl1 1458 . . . . . 6 ((((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
4029, 34, 36, 39syl21anc 1365 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
4126, 40eqbrtrrd 4709 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
42 faccl 13110 . . . . . . 7 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
4318, 42syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
4443nnred 11073 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ)
4530adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
46 remulcl 10059 . . . . . 6 (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
4730, 28, 46syl2an 493 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
48 letr 10169 . . . . 5 (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
4944, 45, 47, 48syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
5041, 49mpan2d 710 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
5111, 22, 503syld 60 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
52 nn0re 11339 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5352adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
54 letr 10169 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
556, 2, 53, 54syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
564, 55mpand 711 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
57 simpr 476 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
58 facwordi 13116 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))
59583exp 1283 . . . 4 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))))
6018, 57, 59sylc 65 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁)))
6127nncnd 11074 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
6261mulid2d 10096 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
6362adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
6427nnnn0d 11389 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
6564nn0ge0d 11392 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
6628, 65jca 553 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
6766adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
6823nnge1d 11101 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑀))
6968adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑀))
70 lemul1a 10915 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7137, 70mp3anl1 1458 . . . . . 6 ((((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7245, 67, 69, 71syl21anc 1365 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7363, 72eqbrtrrd 4709 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
74 letr 10169 . . . . 5 (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
7544, 29, 47, 74syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
7673, 75mpan2d 710 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
7756, 60, 763syld 60 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
78 avgle 11312 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
797, 52, 78syl2an 493 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
8051, 77, 79mpjaod 395 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cfl 12631  !cfa 13100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fl 12633  df-seq 12842  df-fac 13101
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator