Theorem nnge1d 11686

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 11666	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  1c1 10538   ≤ cle 10676  ℕcn 11638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639

This theorem is referenced by:  bernneq3  13593  facwordi  13650  faclbnd  13651  faclbnd3  13653  faclbnd4lem3  13656  facavg  13662  hashge1  13751  seqcoll  13823  wrdind  14084  wrd2ind  14085  eftlub  15462  eflegeo  15474  eirrlem  15557  divdenle  16089  eulerthlem2  16119  infpnlem2  16247  4sqlem11  16291  4sqlem12  16292  prmolefac  16382  2expltfac  16426  cshwshash  16438  fislw  18750  gzrngunitlem  20610  ovoliunlem1  24103  aalioulem2  24922  aalioulem4  24924  aalioulem5  24925  aaliou2b  24930  aaliou3lem2  24932  aaliou3lem8  24934  lgamgulmlem5  25610  vmage0  25698  chpge0  25703  vma1  25743  sqff1o  25759  fsumfldivdiaglem  25766  vmalelog  25781  chtublem  25787  fsumvma2  25790  chpchtsum  25795  logfacubnd  25797  perfectlem2  25806  dchrelbas4  25819  bposlem1  25860  bposlem2  25861  bposlem5  25864  lgsdir  25908  lgsdilem2  25909  lgseisenlem1  25951  2sqlem8  26002  chebbnd1lem1  26045  chebbnd1lem2  26046  chebbnd1lem3  26047  dchrisumlem3  26067  dchrisum0flblem1  26084  dchrisum0lem1b  26091  dirith2  26104  selbergb  26125  selberg3lem2  26134  pntrlog2bndlem1  26153  pntrlog2bndlem3  26155  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  pntrlog2bnd  26160  pntpbnd1a  26161  pntlemj  26179  pntlemk  26182  submateqlem2  31073  nexple  31268  plymulx0  31817  hgt750lemb  31927  poimirlem7  34914  poimirlem19  34926  poimirlem28  34935  diophin  39389  irrapxlem4  39442  irrapxlem5  39443  pellexlem2  39447  pell14qrgapw  39493  pellfundgt1  39500  ltrmynn0  39565  jm2.27c  39624  jm3.1lem2  39635  fzisoeu  41587  fmuldfeq  41884  stoweidlem3  42308  stoweidlem20  42325  stoweidlem42  42347  stoweidlem51  42356  stoweidlem59  42364  stirlinglem8  42386  fourierdlem11  42423  fourierdlem41  42453  fourierdlem48  42459  fourierdlem79  42490  etransclem23  42562  etransclem28  42567  etransclem35  42574  etransclem38  42577  etransclem44  42583  etransc  42588  hoicvrrex  42858  iccpartlt  43604  lighneallem4a  43793  perfectALTVlem2  43907