MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faccl 12887
Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
faccl (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6088 . . 3 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
21eleq1d 2671 . 2 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘0) ∈ ℕ))
3 fveq2 6088 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
43eleq1d 2671 . 2 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑘) ∈ ℕ))
5 fveq2 6088 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
65eleq1d 2671 . 2 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
7 fveq2 6088 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
87eleq1d 2671 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ ℕ))
9 fac0 12880 . . 3 (!‘0) = 1
10 1nn 10878 . . 3 1 ∈ ℕ
119, 10eqeltri 2683 . 2 (!‘0) ∈ ℕ
12 facp1 12882 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
1312adantl 480 . . . 4 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
14 nn0p1nn 11179 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
15 nnmulcl 10890 . . . . 5 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
1614, 15sylan2 489 . . . 4 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
1713, 16eqeltrd 2687 . . 3 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
1817expcom 449 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
192, 4, 6, 8, 11, 18nn0ind 11304 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cn 10867  0cn0 11139  !cfa 12877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-seq 12619  df-fac 12878
This theorem is referenced by:  faccld  12888  facmapnn  12889  facne0  12890  facdiv  12891  facndiv  12892  facwordi  12893  faclbnd  12894  faclbnd2  12895  faclbnd3  12896  faclbnd4lem1  12897  faclbnd5  12902  faclbnd6  12903  facubnd  12904  facavg  12905  bcrpcl  12912  bccmpl  12913  bcn0  12914  bcn1  12917  bcm1k  12919  bcp1n  12920  bcval5  12922  permnn  12930  4bc2eq6  12933  hashf1  13050  hashfac  13051  bcfallfac  14560  fallfacfac  14561  eftcl  14589  reeftcl  14590  eftabs  14591  efcllem  14593  ef0lem  14594  ege2le3  14605  efcj  14607  efaddlem  14608  eftlub  14624  effsumlt  14626  eflegeo  14636  ef01bndlem  14699  eirrlem  14717  dvdsfac  14832  lcmflefac  15145  prmfac1  15215  pcfac  15387  pcbc  15388  infpnlem1  15398  infpnlem2  15399  prmunb  15402  prmgaplem1  15537  prmgaplem2  15538  gexcl3  17771  aaliou3lem1  23818  aaliou3lem2  23819  aaliou3lem3  23820  aaliou3lem8  23821  aaliou3lem5  23823  aaliou3lem6  23824  aaliou3lem7  23825  aaliou3lem9  23826  taylfvallem1  23832  tayl0  23837  taylply2  23843  taylply  23844  dvtaylp  23845  taylthlem2  23849  advlogexp  24118  birthdaylem2  24396  wilthlem3  24513  wilth  24514  chtublem  24653  logfacubnd  24663  logfaclbnd  24664  logfacbnd3  24665  logfacrlim  24666  logexprlim  24667  bcmono  24719  bposlem3  24728  vmadivsum  24888  subfacval2  30229  subfaclim  30230  subfacval3  30231  bcprod  30683  faclim2  30693  bcccl  37356  bcc0  37357  bccp1k  37358  binomcxplemwb  37365  dvnxpaek  38629  wallispi2lem2  38762  stirlinglem2  38765  stirlinglem3  38766  stirlinglem4  38767  stirlinglem13  38776  stirlinglem14  38777  stirlinglem15  38778  stirlingr  38780  pgrple2abl  41935
  Copyright terms: Public domain W3C validator