MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faccl 13110
Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
faccl (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . 3 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
21eleq1d 2715 . 2 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘0) ∈ ℕ))
3 fveq2 6229 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
43eleq1d 2715 . 2 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑘) ∈ ℕ))
5 fveq2 6229 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
65eleq1d 2715 . 2 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
7 fveq2 6229 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
87eleq1d 2715 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ ℕ))
9 fac0 13103 . . 3 (!‘0) = 1
10 1nn 11069 . . 3 1 ∈ ℕ
119, 10eqeltri 2726 . 2 (!‘0) ∈ ℕ
12 facp1 13105 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
1312adantl 481 . . . 4 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
14 nn0p1nn 11370 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
15 nnmulcl 11081 . . . . 5 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
1614, 15sylan2 490 . . . 4 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
1713, 16eqeltrd 2730 . . 3 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
1817expcom 450 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
192, 4, 6, 8, 11, 18nn0ind 11510 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cn 11058  0cn0 11330  !cfa 13100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-fac 13101
This theorem is referenced by:  faccld  13111  facmapnn  13112  facne0  13113  facdiv  13114  facndiv  13115  facwordi  13116  faclbnd  13117  faclbnd2  13118  faclbnd3  13119  faclbnd4lem1  13120  faclbnd5  13125  faclbnd6  13126  facubnd  13127  facavg  13128  bcrpcl  13135  bccmpl  13136  bcn0  13137  bcn1  13140  bcm1k  13142  bcval5  13145  permnn  13153  4bc2eq6  13156  hashf1  13279  hashfac  13280  bcfallfac  14819  fallfacfac  14820  eftcl  14848  reeftcl  14849  eftabs  14850  efcllem  14852  ef0lem  14853  ege2le3  14864  efcj  14866  efaddlem  14867  eftlub  14883  effsumlt  14885  eflegeo  14895  ef01bndlem  14958  eirrlem  14976  dvdsfac  15095  lcmflefac  15408  prmfac1  15478  pcfac  15650  pcbc  15651  infpnlem1  15661  infpnlem2  15662  prmunb  15665  prmgaplem1  15800  prmgaplem2  15801  gexcl3  18048  aaliou3lem1  24142  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem3  24144  aaliou3lem8  24145  aaliou3lem5  24147  aaliou3lem6  24148  aaliou3lem7  24149  aaliou3lem9  24150  taylfvallem1  24156  taylply2  24167  taylply  24168  dvtaylp  24169  taylthlem2  24173  advlogexp  24446  birthdaylem2  24724  wilthlem3  24841  wilth  24842  chtublem  24981  logfacubnd  24991  logfaclbnd  24992  logfacbnd3  24993  logfacrlim  24994  logexprlim  24995  bcmono  25047  bposlem3  25056  vmadivsum  25216  subfacval2  31295  subfaclim  31296  subfacval3  31297  bcprod  31750  faclim2  31760  bcccl  38855  bcc0  38856  bccp1k  38857  binomcxplemwb  38864  dvnxpaek  40475  wallispi2lem2  40607  stirlinglem2  40610  stirlinglem3  40611  stirlinglem4  40612  stirlinglem13  40621  stirlinglem14  40622  stirlinglem15  40623  stirlingr  40625  pgrple2abl  42471
  Copyright terms: Public domain W3C validator