MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem7 24550
Description: Lemma for fta 24551. Shift the minimum away from zero by a change of variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem7.5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
ftalem7.6 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
ftalem7 (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem ftalem7
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . 4 (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (coeff‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
2 eqid 2609 . . . 4 (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
3 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
4 ftalem7.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
54adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
63, 5addcld 9916 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑋) ∈ ℂ)
7 cnex 9874 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ∈ V)
94negcld 10231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
109adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → -𝑋 ∈ ℂ)
11 df-idp 23694 . . . . . . . . . 10 Xp = ( I ↾ ℂ)
12 mptresid 5362 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧) = ( I ↾ ℂ)
1311, 12eqtr4i 2634 . . . . . . . . 9 Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
15 fconstmpt 5075 . . . . . . . . 9 (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ × {-𝑋}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝑋))
178, 3, 10, 14, 16offval2 6790 . . . . . . 7 (𝜑 → (Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)))
18 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 ∈ ℂ)
19 subneg 10182 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2018, 4, 19syl2anr 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − -𝑋) = (𝑧 + 𝑋))
2120mpteq2dva 4666 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − -𝑋)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
2217, 21eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝜑 → (Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 + 𝑋)))
23 ftalem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
24 plyf 23703 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
2625feqmptd 6144 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑦)))
27 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 + 𝑋) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
286, 22, 26, 27fmptco 6288 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋}))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))))
29 plyssc 23705 . . . . . . 7 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3029, 23sseldi 3565 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
31 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})) = (Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋}))
3231plyremlem 23808 . . . . . . . 8 (-𝑋 ∈ ℂ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
339, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋}))) = 1 ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})) “ {0}) = {-𝑋}))
3433simp1d 1065 . . . . . 6 (𝜑 → (Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})) ∈ (Poly‘ℂ))
35 addcl 9875 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
3635adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
37 mulcl 9877 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
3837adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
3930, 34, 36, 38plyco 23746 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ (Poly‘ℂ))
4028, 39eqeltrrd 2688 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) ∈ (Poly‘ℂ))
4128fveq2d 6092 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})))) = (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))))
42 ftalem.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐹)
43 eqid 2609 . . . . . . 7 (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋}))) = (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})))
4442, 43, 30, 34dgrco 23780 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})))) = (𝑁 · (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})))))
45 ftalem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4633simp2d 1066 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋}))) = 1)
47 1nn 10881 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
4846, 47syl6eqel 2695 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋}))) ∈ ℕ)
4945, 48nnmulcld 10918 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
5044, 49eqeltrd 2687 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {-𝑋})))) ∈ ℕ)
5141, 50eqeltrrd 2688 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))) ∈ ℕ)
52 0cn 9889 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
53 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 → (𝑧 + 𝑋) = (0 + 𝑋))
5453fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
55 eqid 2609 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))
56 fvex 6098 . . . . . . . 8 (𝐹‘(0 + 𝑋)) ∈ V
5754, 55, 56fvmpt 6176 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋)))
5852, 57ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹‘(0 + 𝑋))
594addid2d 10089 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 𝑋) = 𝑋)
6059fveq2d 6092 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(0 + 𝑋)) = (𝐹𝑋))
6158, 60syl5eq 2655 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹𝑋))
62 ftalem7.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ 0)
6361, 62eqnetrd 2848 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) ≠ 0)
641, 2, 40, 51, 63ftalem6 24549 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)))
65 id 22 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
66 addcl 9875 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
6765, 4, 66syl2anr 493 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ)
68 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑋) = (𝑦 + 𝑋))
6968fveq2d 6092 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
70 fvex 6098 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ V
7169, 55, 70fvmpt 6176 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
7271adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
7372fveq2d 6092 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
7461adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0) = (𝐹𝑋))
7574fveq2d 6092 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) = (abs‘(𝐹𝑋)))
7673, 75breq12d 4590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹𝑋))))
7725adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
7877, 67ffvelrnd 6253 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)) ∈ ℂ)
7978abscld 13972 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) ∈ ℝ)
8025, 4ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
8180abscld 13972 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
8281adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
8379, 82ltnled 10036 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))) < (abs‘(𝐹𝑋)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8476, 83bitrd 266 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8584biimpd 217 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
86 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))
8786fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋))))
8887breq2d 4589 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → ((abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
8988notbid 306 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑋) → (¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))))
9089rspcev 3281 . . . . 5 (((𝑦 + 𝑋) ∈ ℂ ∧ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑦 + 𝑋)))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
9167, 85, 90syl6an 565 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
9291rexlimdva 3012 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℂ (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘𝑦)) < (abs‘((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝑧 + 𝑋)))‘0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
9364, 92mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
94 rexnal 2977 . 2 (∃𝑥 ∈ ℂ ¬ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
9593, 94sylib 206 1 (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637   I cid 4938   × cxp 5026  ccnv 5027  cres 5030  cima 5031  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6771  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118  -cneg 10119  cn 10870  abscabs 13771  Polycply 23689  Xpcidp 23690  coeffccoe 23691  degcdgr 23692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588  df-cos 14589  df-pi 14591  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-0p 23188  df-limc 23381  df-dv 23382  df-ply 23693  df-idp 23694  df-coe 23695  df-dgr 23696  df-log 24052  df-cxp 24053
This theorem is referenced by:  fta  24551
  Copyright terms: Public domain W3C validator