Theorem m11nprm 43786

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11915	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 11913	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12114	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 11917	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12114	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 11921	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 11914	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 43785	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 11784	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12130	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 11771	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12162	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 11916	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12114	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 11922	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2821	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 11920	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12214	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 11773	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7168	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 11919	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 11763	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12171	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12161	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12215	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7166	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12114	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 11910	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addid1i 10827	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12152	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12221	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12179	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12161	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12222	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12165	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12164	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2847	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   − cmin 10870  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  5c5 11696  6c6 11697  7c7 11698  8c8 11699  9c9 11700  ;cdc 12099  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by: (None)