Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoi 22442
 Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoi ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))

Proof of Theorem nmoi
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6148 . . . 4 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝐹𝑋) = (𝐹‘(0g𝑆)))
21fveq2d 6152 . . 3 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))))
3 fveq2 6148 . . . 4 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝐿𝑋) = (𝐿‘(0g𝑆)))
43oveq2d 6620 . . 3 (𝑋 = (0g𝑆) → ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)) = ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆))))
52, 4breq12d 4626 . 2 (𝑋 = (0g𝑆) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆)))))
6 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
76fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹𝑋)))
8 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐿𝑥) = (𝐿𝑋))
98oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑟 · (𝐿𝑥)) = (𝑟 · (𝐿𝑋)))
107, 9breq12d 4626 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
1110rspcv 3291 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
1211ad3antlr 766 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
13 nmofval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
1413isnghm 22437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
1514simplbi 476 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
1716simprd 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
1814simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ))
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ))
2019simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
21 nmoi.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑆)
22 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
2321, 22ghmf 17585 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
25 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
2624, 25sylancom 700 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
27 nmoi.4 . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (norm‘𝑇)
2822, 27nmcl 22330 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2917, 26, 28syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
32 elrege0 12220 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟))
3332simplbi 476 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ (0[,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
3433adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
3516simpld 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
36 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
3735, 36jca 554 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉))
38 nmoi.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (norm‘𝑆)
39 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑆) = (0g𝑆)
4021, 38, 39nmrpcl 22334 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
41403expa 1262 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
4237, 41sylan 488 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
4342rpregt0d 11822 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝑋)))
4443adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝑋)))
45 ledivmul2 10846 . . . . . . 7 (((𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝑋))) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
4631, 34, 44, 45syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑋))))
4712, 46sylibrd 249 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟))
4847ralrimiva 2960 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟))
4935adantr 481 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
5017adantr 481 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
5120adantr 481 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5230, 42rerpdivcld 11847 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ)
5352rexrd 10033 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*)
5413, 21, 38, 27nmogelb 22430 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟)))
5549, 50, 51, 53, 54syl31anc 1326 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ 𝑟)))
5648, 55mpbird 247 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹))
5719simprd 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ)
5857adantr 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ)
5930, 58, 42ledivmul2d 11870 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋))))
6056, 59mpbid 222 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
61 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝑇) = (0g𝑇)
6239, 61ghmid 17587 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
6320, 62syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
6463fveq2d 6152 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = (𝑀‘(0g𝑇)))
6527, 61nm0 22343 . . . . 5 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
6617, 65syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
6764, 66eqtrd 2655 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = 0)
6838, 39nm0 22343 . . . . . 6 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
6935, 68syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
70 0re 9984 . . . . 5 0 ∈ ℝ
7169, 70syl6eqel 2706 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿‘(0g𝑆)) ∈ ℝ)
7213nmoge0 22435 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
7335, 17, 20, 72syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
74 0le0 11054 . . . . 5 0 ≤ 0
7574, 69syl5breqr 4651 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝐿‘(0g𝑆)))
7657, 71, 73, 75mulge0d 10548 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆))))
7767, 76eqbrtrd 4635 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿‘(0g𝑆))))
785, 60, 77pm2.61ne 2875 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907   class class class wbr 4613  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝcr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019   / cdiv 10628  ℝ+crp 11776  [,)cico 12119  Basecbs 15781  0gc0g 16021   GrpHom cghm 17578  normcnm 22291  NrmGrpcngp 22292   normOp cnmo 22419   NGHom cnghm 22420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12123  df-0g 16023  df-topgen 16025  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-ghm 17579  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-xms 22035  df-ms 22036  df-nm 22297  df-ngp 22298  df-nmo 22422  df-nghm 22423 This theorem is referenced by:  nmoix  22443  nmoeq0  22450  nmoco  22451  nmotri  22453  nmoid  22456  nmods  22458
 Copyright terms: Public domain W3C validator