Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primes4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primes4 42182
Description: 4 is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primes4 𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))
Distinct variable group:   𝑓,𝑑,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primes4
StepHypRef Expression
1 2nn 11373 . 2 2 ∈ ℕ
2 1ne2 11428 . . . . 5 1 ≠ 2
3 1ex 10223 . . . . . 6 1 ∈ V
4 2ex 11280 . . . . . 6 2 ∈ V
53, 4, 4, 4fpr 6580 . . . . 5 (1 ≠ 2 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2})
6 2prm 15603 . . . . . . . 8 2 ∈ ℙ
76, 6pm3.2i 470 . . . . . . 7 (2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ)
84, 4prss 4492 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) ↔ {2, 2} ⊆ ℙ)
97, 8mpbi 220 . . . . . 6 {2, 2} ⊆ ℙ
10 fss 6213 . . . . . 6 (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} ∧ {2, 2} ⊆ ℙ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
119, 10mpan2 709 . . . . 5 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
122, 5, 11mp2b 10 . . . 4 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ
13 prmex 15589 . . . . 5 ℙ ∈ V
14 prex 5054 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
1513, 14elmap 8048 . . . 4 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2}) ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
1612, 15mpbir 221 . . 3 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})
17 2re 11278 . . . . 5 2 ∈ ℝ
18 3re 11282 . . . . 5 3 ∈ ℝ
19 2lt3 11383 . . . . 5 2 < 3
2017, 18, 19ltleii 10348 . . . 4 2 ≤ 3
21 2cn 11279 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
22 fveq2 6348 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
233, 4fvpr1 6616 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2)
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2
2522, 24syl6eq 2806 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
26 fveq2 6348 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
274, 4fvpr2 6617 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
282, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
2926, 28syl6eq 2806 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
30 id 22 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
3130ancri 576 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
323jctl 565 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℂ))
332a1i 11 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → 1 ≠ 2)
3425, 29, 31, 32, 33sumpr 14672 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2))
3521, 34ax-mp 5 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2)
36 2p2e4 11332 . . . . 5 (2 + 2) = 4
3735, 36eqtr2i 2779 . . . 4 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)
3820, 37pm3.2i 470 . . 3 (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
39 fveq1 6347 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
4039sumeq2sdv 14630 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
4140eqeq2d 2766 . . . . 5 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)))
4241anbi2d 742 . . . 4 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))))
4342rspcev 3445 . . 3 (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2}) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
4416, 38, 43mp2an 710 . 2 𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))
45 oveq2 6817 . . . . . 6 (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
46 df-2 11267 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
4746oveq2i 6820 . . . . . . 7 (1...2) = (1...(1 + 1))
48 1z 11595 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
49 fzpr 12585 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
51 1p1e2 11322 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
5251preq2i 4412 . . . . . . . 8 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
5350, 52eqtri 2778 . . . . . . 7 (1...(1 + 1)) = {1, 2}
5447, 53eqtri 2778 . . . . . 6 (1...2) = {1, 2}
5545, 54syl6eq 2806 . . . . 5 (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
5655oveq2d 6825 . . . 4 (𝑑 = 2 → (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑)) = (ℙ ↑𝑚 {1, 2}))
57 breq1 4803 . . . . 5 (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
5855sumeq1d 14626 . . . . . 6 (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))
5958eqeq2d 2766 . . . . 5 (𝑑 = 2 → (4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
6057, 59anbi12d 749 . . . 4 (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
6156, 60rexeqbidv 3288 . . 3 (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
6261rspcev 3445 . 2 ((2 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
631, 44, 62mp2an 710 1 𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wrex 3047  Vcvv 3336  wss 3711  {cpr 4319  cop 4323   class class class wbr 4800  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  𝑚 cmap 8019  cc 10122  1c1 10125   + caddc 10127  cle 10263  cn 11208  2c2 11258  3c3 11259  4c4 11260  cz 11565  ...cfz 12515  Σcsu 14611  cprime 15583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-sum 14612  df-dvds 15179  df-prm 15584
This theorem is referenced by:  nnsum4primes4  42183  nnsum3primesle9  42188
  Copyright terms: Public domain W3C validator