Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundgt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellfundgt1 36966
 Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundgt1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundgt1
StepHypRef Expression
1 1red 10015 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2 eldifi 3716 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
32peano2nnd 10997 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
43nnrpd 11830 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
54rpsqrtcld 14100 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
65rpred 11832 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
72nnrpd 11830 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
87rpsqrtcld 14100 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
98rpred 11832 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
106, 9readdcld 10029 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
11 pellfundre 36964 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
12 sqrt1 13962 . . . . 5 (√‘1) = 1
1312, 1syl5eqel 2702 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ∈ ℝ)
1413, 13readdcld 10029 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ∈ ℝ)
15 1lt2 11154 . . . . 5 1 < 2
1612, 12oveq12i 6627 . . . . . 6 ((√‘1) + (√‘1)) = (1 + 1)
17 1p1e2 11094 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1816, 17eqtri 2643 . . . . 5 ((√‘1) + (√‘1)) = 2
1915, 18breqtrri 4650 . . . 4 1 < ((√‘1) + (√‘1))
2019a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘1) + (√‘1)))
213nnge1d 11023 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ (𝐷 + 1))
22 0le1 10511 . . . . . . 7 0 ≤ 1
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 1)
242nnred 10995 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ)
25 peano2re 10169 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
273nnnn0d 11311 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
2827nn0ge0d 11314 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ (𝐷 + 1))
291, 23, 26, 28sqrtled 14115 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ (𝐷 + 1) ↔ (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1))))
3021, 29mpbid 222 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
312nnge1d 11023 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ 𝐷)
322nnnn0d 11311 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3332nn0ge0d 11314 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 𝐷)
341, 23, 24, 33sqrtled 14115 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ 𝐷 ↔ (√‘1) ≤ (√‘𝐷)))
3531, 34mpbid 222 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘𝐷))
3613, 13, 6, 9, 30, 35le2addd 10606 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ≤ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
371, 14, 10, 20, 36ltletrd 10157 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
38 pellfundge 36965 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))
391, 10, 11, 37, 38ltletrd 10157 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1987   ∖ cdif 3557   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034   ≤ cle 10035  ℕcn 10980  2c2 11030  √csqrt 13923  ◻NNcsquarenn 36919  PellFundcpellfund 36923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-numer 15386  df-denom 15387  df-squarenn 36924  df-pell1qr 36925  df-pell14qr 36926  df-pell1234qr 36927  df-pellfund 36928 This theorem is referenced by:  pellfundex  36969  pellfundrp  36971  pellfundne1  36972  pellfund14  36981
 Copyright terms: Public domain W3C validator