MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatring 20241
Description: The set of polynomial matrices over a ring is a ring. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatring.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmatring.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
Assertion
Ref Expression
pmatring ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)

Proof of Theorem pmatring
StepHypRef Expression
1 pmatring.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 19364 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3 pmatring.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
43matring 19992 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
52, 4sylan2 489 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  cfv 5689  (class class class)co 6425  Fincfn 7715  Ringcrg 18298  Poly1cpl1 19293   Mat cmat 19956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-inf2 8295  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-ot 4037  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-of 6669  df-ofr 6670  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-supp 7056  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-2o 7322  df-oadd 7325  df-er 7503  df-map 7620  df-pm 7621  df-ixp 7669  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-fsupp 8033  df-sup 8105  df-oi 8172  df-card 8522  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-4 10834  df-5 10835  df-6 10836  df-7 10837  df-8 10838  df-9 10839  df-10OLD 10840  df-n0 11046  df-z 11117  df-dec 11232  df-uz 11424  df-fz 12063  df-fzo 12200  df-seq 12529  df-hash 12845  df-struct 15602  df-ndx 15603  df-slot 15604  df-base 15605  df-sets 15606  df-ress 15607  df-plusg 15686  df-mulr 15687  df-sca 15689  df-vsca 15690  df-ip 15691  df-tset 15692  df-ple 15693  df-ds 15696  df-hom 15698  df-cco 15699  df-0g 15830  df-gsum 15831  df-prds 15836  df-pws 15838  df-mre 15982  df-mrc 15983  df-acs 15985  df-mgm 16978  df-sgrp 17020  df-mnd 17031  df-mhm 17071  df-submnd 17072  df-grp 17161  df-minusg 17162  df-sbg 17163  df-mulg 17277  df-subg 17327  df-ghm 17394  df-cntz 17486  df-cmn 17947  df-abl 17948  df-mgp 18241  df-ur 18253  df-ring 18300  df-subrg 18529  df-lmod 18616  df-lss 18679  df-sra 18918  df-rgmod 18919  df-psr 19102  df-mpl 19104  df-opsr 19106  df-psr1 19296  df-ply1 19298  df-dsmm 19819  df-frlm 19834  df-mamu 19933  df-mat 19957
This theorem is referenced by:  1pmatscmul  20250  1elcpmat  20263  cpmatacl  20264  cpmatinvcl  20265  cpmatmcl  20267  cpmatsubgpmat  20268  cpmatsrgpmat  20269  mat2pmatghm  20278  mat2pmat1  20280  decpmatid  20318  decpmatmullem  20319  decpmatmul  20320  decpmatmulsumfsupp  20321  pmatcollpwfi  20330  pmatcollpw3fi1lem1  20334  idpm2idmp  20349  pm2mpghm  20364  pm2mpmhmlem1  20366  pm2mpmhmlem2  20367  pm2mpmhm  20368  pm2mprhm  20369  pm2mprngiso  20370  pm2mp  20373  chmatcl  20376  chmatval  20377  chpdmatlem0  20385  chpdmatlem1  20386  chpdmatlem2  20387  chpdmatlem3  20388  chmaidscmat  20396  chfacfisf  20402  chfacfscmulgsum  20408  chfacfpmmulcl  20409  chfacfpmmul0  20410  chfacfpmmulgsum  20412  chfacfpmmulgsum2  20413  cayhamlem1  20414  cpmadugsumlemF  20424  cpmadugsumfi  20425  cpmidgsum2  20427  cayhamlem4  20436
  Copyright terms: Public domain W3C validator