MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdvlem1 24301
Description: Lemma for pserdv 24303. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
Assertion
Ref Expression
pserdvlem1 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdvlem1
StepHypRef Expression
1 psercn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
2 cnvimass 5595 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3 absf 14197 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
43fdmi 6165 . . . . . . . . . 10 dom abs = ℂ
52, 4sseqtri 3743 . . . . . . . . 9 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
61, 5eqsstri 3741 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
87sselda 3709 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
98abscld 14295 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
10 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
11 pserf.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
12 pserf.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13 pserf.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
14 psercn.m . . . . . . . 8 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
1510, 11, 12, 13, 1, 14psercnlem1 24299 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
1615simp1d 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
1716rpred 11986 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
189, 17readdcld 10182 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ)
19 0red 10154 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℝ)
208absge0d 14303 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
219, 16ltaddrpd 12019 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
2219, 9, 18, 20, 21lelttrd 10308 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
2318, 22elrpd 11983 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ+)
2423rphalfcld 11998 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
2515simp2d 1135 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
26 avglt1 11383 . . . 4 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
279, 17, 26syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
2825, 27mpbid 222 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
2918rehalfcld 11392 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ)
3029rexrd 10202 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
3117rexrd 10202 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
32 iccssxr 12370 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3310, 12, 13radcnvcl 24291 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3432, 33sseldi 3707 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3534adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
36 avglt2 11384 . . . . 5 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
379, 17, 36syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
3825, 37mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀)
3915simp3d 1136 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
4030, 31, 35, 38, 39xrlttrd 12104 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
4124, 28, 403jca 1379 1 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  {crab 3018  wss 3680  ifcif 4194   class class class wbr 4760  cmpt 4837  ccnv 5217  dom cdm 5218  cima 5221  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  supcsup 8462  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  +∞cpnf 10184  *cxr 10186   < clt 10187   / cdiv 10797  2c2 11183  0cn0 11405  +crp 11946  [,)cico 12291  [,]cicc 12292  seqcseq 12916  cexp 12975  abscabs 14094  cli 14335  Σcsu 14536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24302  pserdv  24303
  Copyright terms: Public domain W3C validator