MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recidd 10648
Description: Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
recidd (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem recidd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 recid 10551 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794   · cmul 9798   / cdiv 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537
This theorem is referenced by:  xlemul1  11952  exprec  12721  harmonic  14379  nmoi2  22292  logtayl  24151  cxprec  24177  isosctrlem2  24294  cxplim  24443  amgmlem  24461  lgamgulmlem2  24501  logfaclbnd  24692  dchrabs  24730  lgseisenlem1  24845  lgseisenlem2  24846  lgsquadlem1  24850  ipasslem4  26867  strlem1  28287  knoppndvlem7  31473  dvtan  32424  irrapxlem2  36199  pellexlem2  36206  pell1234qrreccl  36230  pell14qrdich  36245  reclt0d  38342  stirlinglem3  38763  dirkercncflem2  38791  amgmlemALT  42311  young2d  42313
  Copyright terms: Public domain W3C validator