MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem4 14990
Description: Lemma for rpnnen2 14999. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem4
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11337 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2 0re 10078 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 3nn 11224 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
5 nndivre 11094 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 708 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
7 3re 11132 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
8 3pos 11152 . . . . . . . 8 0 < 3
97, 8recgt0ii 10967 . . . . . . 7 0 < (1 / 3)
102, 6, 9ltleii 10198 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 3)
11 expge0 12936 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
126, 11mp3an1 1451 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
131, 10, 12sylancl 695 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
14133ad2ant3 1104 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
15 0le0 11148 . . . 4 0 ≤ 0
16 breq2 4689 . . . . 5 (((1 / 3)↑𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ↔ 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
17 breq2 4689 . . . . 5 (0 = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
1816, 17ifboth 4157 . . . 4 ((0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
1914, 15, 18sylancl 695 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
20 sstr 3644 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
21 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
2221rpnnen2lem1 14987 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2320, 22stoic3 1741 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2419, 23breqtrrd 4713 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘))
25 reexpcl 12917 . . . . . 6 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
266, 1, 25sylancr 696 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
27263ad2ant3 1104 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
28 0red 10079 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
29 simp1 1081 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴𝐵)
3029sseld 3635 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
31 ifle 12066 . . . 4 (((((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘)) ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3227, 28, 14, 30, 31syl31anc 1369 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3321rpnnen2lem1 14987 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
34333adant1 1099 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3532, 23, 343brtr4d 4717 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
3624, 35jca 553 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  3c3 11109  0cn0 11330  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  14991  rpnnen2lem7  14993  rpnnen2lem12  14998
  Copyright terms: Public domain W3C validator