MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3pos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3pos 11152
Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
3pos 0 < 3

Proof of Theorem 3pos
StepHypRef Expression
1 2re 11128 . . 3 2 ∈ ℝ
2 1re 10077 . . 3 1 ∈ ℝ
3 2pos 11150 . . 3 0 < 2
4 0lt1 10588 . . 3 0 < 1
51, 2, 3, 4addgt0ii 10608 . 2 0 < (2 + 1)
6 df-3 11118 . 2 3 = (2 + 1)
75, 6breqtrri 4712 1 0 < 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  2c2 11108  3c3 11109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-2 11117  df-3 11118
This theorem is referenced by:  3ne0  11153  4pos  11154  3rp  11876  fz0to4untppr  12481  s4fv0  13686  sqrlem7  14033  sqrt9  14058  caurcvgr  14448  ef01bndlem  14958  cos2bnd  14962  sin01gt0  14964  cos01gt0  14965  rpnnen2lem3  14989  rpnnen2lem4  14990  rpnnen2lem9  14995  flodddiv4  15184  43prm  15876  cnfldfun  19806  tangtx  24302  sincos6thpi  24312  pige3  24314  log2cnv  24716  log2tlbnd  24717  cht3  24944  ppiub  24974  bposlem2  25055  bposlem3  25056  bposlem4  25057  bposlem5  25058  lgsdir2lem1  25095  chto1ub  25210  dchrvmasumiflem1  25235  tgcgr4  25471  frgrogt3nreg  27384  friendshipgt3  27385  ex-gcd  27444  hgt750lemd  30854  hgt750lem2  30858  heiborlem5  33744  heiborlem7  33746  jm2.23  37880  stoweidlem13  40548  stoweidlem26  40561  stoweidlem34  40569  stoweidlem42  40577  stoweidlem59  40594  stoweid  40598  wallispilem4  40603  smfmullem4  41322  257prm  41798  127prm  41840
  Copyright terms: Public domain W3C validator