Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salexct3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salexct3 39864
Description: An example of a sigma-algebra that's not closed under uncountable union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salexct3.a 𝐴 = (0[,]2)
salexct3.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salexct3.x 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
Assertion
Ref Expression
salexct3 (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋𝑆 ∧ ¬ 𝑋𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem salexct3
StepHypRef Expression
1 salexct3.a . . . . . 6 𝐴 = (0[,]2)
2 ovex 6632 . . . . . 6 (0[,]2) ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . . . 5 𝐴 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
5 salexct3.s . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
64, 5salexct 39856 . . 3 (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
76trud 1490 . 2 𝑆 ∈ SAlg
8 salexct3.x . . 3 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
9 0re 9984 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
10 2re 11034 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
119, 10pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
129leidi 10506 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 0
13 1le2 11185 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 2
1412, 13pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
15 iccss 12183 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
1611, 14, 15mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
1816, 17sseldi 3581 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
1918, 1syl6eleqr 2709 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦𝐴)
20 snelpwi 4873 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
22 snfi 7982 . . . . . . . . . 10 {𝑦} ∈ Fin
23 fict 8494 . . . . . . . . . 10 ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑦} ≼ ω
25 orc 400 . . . . . . . . 9 ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2821, 27jca 554 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29 breq1 4616 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
30 difeq2 3700 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑦} → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
3130breq1d 4623 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
3229, 31orbi12d 745 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
3332, 5elrab2 3348 . . . . . 6 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
3428, 33sylibr 224 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
3534rgen 2917 . . . 4 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
36 eqid 2621 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
3736rnmptss 6347 . . . 4 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
3835, 37ax-mp 5 . . 3 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
398, 38eqsstri 3614 . 2 𝑋𝑆
408unieqi 4411 . . . . 5 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
41 snex 4869 . . . . . . . 8 {𝑦} ∈ V
4241rgenw 2919 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
43 dfiun3g 5338 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . 6 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
4544eqcomi 2630 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
46 iunid 4541 . . . . 5 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
4740, 45, 463eqtrri 2648 . . . 4 (0[,]1) = 𝑋
4847eqcomi 2630 . . 3 𝑋 = (0[,]1)
491, 5, 48salexct2 39861 . 2 ¬ 𝑋𝑆
507, 39, 493pm3.2i 1237 1 (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋𝑆 ∧ ¬ 𝑋𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  wss 3555  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   cuni 4402   ciun 4485   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075  (class class class)co 6604  ωcom 7012  cdom 7897  Fincfn 7899  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  cle 10019  2c2 11014  [,]cicc 12120  SAlgcsalg 39832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-ntr 20734  df-salg 39833
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator