Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cos2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2h 32366
Description: Half-angle rule for cosine. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
cos2h (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))

Proof of Theorem cos2h
StepHypRef Expression
1 pire 23931 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
21renegcli 10193 . . . . . 6 -π ∈ ℝ
3 iccssre 12082 . . . . . 6 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
42, 1, 3mp2an 703 . . . . 5 (-π[,]π) ⊆ ℝ
54sseli 3563 . . . 4 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
65rehalfcld 11126 . . 3 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
76recoscld 14659 . 2 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
8 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
95recoscld 14659 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
10 readdcl 9875 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancr 693 . . . 4 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
1211rehalfcld 11126 . . 3 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
13 cosbnd 14696 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
1413simpld 473 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
15 recoscl 14656 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
16 recn 9882 . . . . . . . . 9 ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17 recn 9882 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
18 subneg 10181 . . . . . . . . . 10 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
19 addcom 10073 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
2019ancoms 467 . . . . . . . . . 10 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
2118, 20eqtr4d 2646 . . . . . . . . 9 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
2216, 17, 21syl2an 492 . . . . . . . 8 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
2322breq2d 4589 . . . . . . 7 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
24 renegcl 10195 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
25 subge0 10390 . . . . . . . 8 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
2624, 25sylan2 489 . . . . . . 7 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
2710ancoms 467 . . . . . . . 8 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
28 halfnneg2 11110 . . . . . . . 8 ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
3023, 26, 293bitr3d 296 . . . . . 6 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
3115, 8, 30sylancl 692 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
3214, 31mpbid 220 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
335, 32syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
3412, 33resqrtcld 13950 . 2 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
352, 1elicc2i 12066 . . . 4 (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
36 2re 10937 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
37 2pos 10959 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3836, 37pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39 lediv1 10737 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
402, 38, 39mp3an13 1406 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
41 picn 23932 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
42 2cn 10938 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
43 2ne0 10960 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
44 divneg 10568 . . . . . . . . . . 11 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
4541, 42, 43, 44mp3an 1415 . . . . . . . . . 10 -(π / 2) = (-π / 2)
4645breq1i 4584 . . . . . . . . 9 (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2))
4740, 46syl6bbr 276 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ -(π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
48 lediv1 10737 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
491, 38, 48mp3an23 1407 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
5047, 49anbi12d 742 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
51 rehalfcl 11105 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
5251rexrd 9945 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
53 halfpire 23937 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ
5453renegcli 10193 . . . . . . . . . 10 -(π / 2) ∈ ℝ
5554rexri 9948 . . . . . . . . 9 -(π / 2) ∈ ℝ*
5653rexri 9948 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ*
57 elicc4 12067 . . . . . . . . 9 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
5855, 56, 57mp3an12 1405 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
5952, 58syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
6050, 59bitr4d 269 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
6160biimpd 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
62613impib 1253 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
6335, 62sylbi 205 . . 3 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
64 cosq14ge0 23984 . . 3 ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
6563, 64syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
6612, 33sqrtge0d 13953 . 2 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
675recnd 9924 . . 3 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
68 ax-1cn 9850 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
69 coscl 14642 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
70 addcl 9874 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
7168, 69, 70sylancr 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
7271halfcld 11124 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
7372sqsqrtd 13972 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2) = ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
74 divcan2 10542 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7542, 43, 74mp3an23 1407 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7675fveq2d 6092 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
77 halfcl 11104 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
78 cos2t 14693 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
8076, 79eqtr3d 2645 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
8180oveq2d 6543 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
8281oveq1d 6542 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) = ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2))
8377coscld 14646 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
8483sqcld 12823 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
85 mulcl 9876 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
8642, 85mpan 701 . . . . . . . 8 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
87 pncan3 10140 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ) → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8868, 86, 87sylancr 693 . . . . . . 7 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8988oveq1d 6542 . . . . . 6 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2))
90 divcan3 10560 . . . . . . 7 ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
9142, 43, 90mp3an23 1407 . . . . . 6 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
9289, 91eqtrd 2643 . . . . 5 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
9384, 92syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
9473, 82, 933eqtrrd 2648 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
9567, 94syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
967, 34, 65, 66, 95sq11d 12862 1 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wss 3539   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  2c2 10917  [,]cicc 12005  cexp 12677  csqrt 13767  cosccos 14580  πcpi 14582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354
This theorem is referenced by:  tan2h  32367
  Copyright terms: Public domain W3C validator