MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsub3d 10366
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subsub3d (𝜑 → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐵))

Proof of Theorem subsub3d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subsub3 10257 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐵))
51, 2, 3, 4syl3anc 1323 1 (𝜑 → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878   + caddc 9883  cmin 10210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212
This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  11230  bcpasc  13048  swrdccatin12lem2  13426  spllen  13442  revccat  13452  fsumparts  14465  binomlem  14486  fallfacfwd  14692  binomfallfaclem2  14696  4sqlem5  15570  4sqlem12  15584  srgbinomlem4  18464  ovollb2lem  23163  dvcvx  23687  dvfsumlem4  23696  heron  24465  selberg3lem1  25146  pntrsumo1  25154  selberg34r  25160  pntrlog2bndlem5  25170  brbtwn2  25685  colinearalglem1  25686  colinearalglem2  25687  colinearalglem4  25689  crctcshwlkn0lem6  26576  clwlkclwwlklem3  26769  fwddifnp1  31914  dnibndlem7  32116  dnibndlem8  32117  dvnmul  39464  stoweidlem21  39545  wallispilem5  39593  fourierdlem42  39673  fourierdlem63  39693  pfxccatin12lem2  40723
  Copyright terms: Public domain W3C validator