MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcvx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcvx 23504
Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcvx.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvcvx.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvcvx.l (𝜑𝐴 < 𝐵)
dvcvx.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvcvx.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
dvcvx.t (𝜑𝑇 ∈ (0(,)1))
dvcvx.c 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvcvx (𝜑 → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))

Proof of Theorem dvcvx
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcvx.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 dvcvx.c . . . 4 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
3 dvcvx.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (0(,)1))
4 elioore 12032 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
65, 1remulcld 9926 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ)
7 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 resubcl 10196 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
97, 5, 8sylancr 693 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
10 dvcvx.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
119, 10remulcld 9926 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℝ)
126, 11readdcld 9925 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℝ)
132, 12syl5eqel 2691 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
14 1cnd 9912 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
155recnd 9924 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
161recnd 9924 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1714, 15, 16subdird 10337 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
1816mulid2d 9914 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1918oveq1d 6542 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
2017, 19eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
21 dvcvx.l . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
22 eliooord 12060 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑇𝑇 < 1))
233, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 < 𝑇𝑇 < 1))
2423simprd 477 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 < 1)
25 posdif 10370 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
265, 7, 25sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
2724, 26mpbid 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
28 ltmul2 10723 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
291, 10, 9, 27, 28syl112anc 1321 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3021, 29mpbid 220 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
3120, 30eqbrtrrd 4601 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
321, 6, 11ltsubadd2d 10474 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
3331, 32mpbid 220 . . . 4 (𝜑𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3433, 2syl6breqr 4619 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐶)
351leidd 10443 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐴)
3610recnd 9924 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3714, 15, 36subdird 10337 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)))
3836mulid2d 9914 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
3938oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
4037, 39eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
415, 10remulcld 9926 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ)
4223simpld 473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑇)
43 ltmul2 10723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
441, 10, 5, 42, 43syl112anc 1321 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
4521, 44mpbid 220 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵))
466, 41, 10, 45ltsub2dd 10489 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
4740, 46eqbrtrd 4599 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
486, 11, 10ltaddsub2d 10477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴))))
4947, 48mpbird 245 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵)
502, 49syl5eqbr 4612 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 𝐵)
5113, 10, 50ltled 10036 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐵)
52 iccss 12068 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐴𝐶𝐵)) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
531, 10, 35, 51, 52syl22anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
54 dvcvx.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
55 rescncf 22439 . . . 4 ((𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ)))
5653, 54, 55sylc 62 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ))
57 ax-resscn 9849 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59 cncff 22435 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
6054, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
61 fss 5955 . . . . . . . 8 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
6260, 57, 61sylancl 692 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
63 iccssre 12082 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
641, 10, 63syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65 iccssre 12082 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
661, 13, 65syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
67 eqid 2609 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867tgioo2 22346 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6967, 68dvres 23398 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
7058, 62, 64, 66, 69syl22anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
71 iccntr 22364 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
721, 13, 71syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
7372reseq2d 5304 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
7470, 73eqtrd 2643 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
7574dmeqd 5235 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
76 dmres 5326 . . . . 5 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
7710rexrd 9945 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
78 iooss2 12038 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
7977, 51, 78syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80 dvcvx.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
81 isof1o 6451 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto𝑊)
82 f1odm 6039 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto𝑊 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
8380, 81, 823syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
8479, 83sseqtr4d 3604 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
85 df-ss 3553 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
8684, 85sylib 206 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
8776, 86syl5eq 2655 . . . 4 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8875, 87eqtrd 2643 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = (𝐴(,)𝐶))
891, 13, 34, 56, 88mvth 23476 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)))
901, 13, 34ltled 10036 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
9110leidd 10443 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐵)
92 iccss 12068 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐵)) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
931, 10, 90, 91, 92syl22anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
94 rescncf 22439 . . . 4 ((𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ)))
9593, 54, 94sylc 62 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ))
96 iccssre 12082 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9713, 10, 96syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9867, 68dvres 23398 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
9958, 62, 64, 97, 98syl22anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
100 iccntr 22364 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
10113, 10, 100syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
102101reseq2d 5304 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
10399, 102eqtrd 2643 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
104103dmeqd 5235 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
105 dmres 5326 . . . . 5 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
1061rexrd 9945 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
107 iooss1 12037 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
108106, 90, 107syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
109108, 83sseqtr4d 3604 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
110 df-ss 3553 . . . . . 6 ((𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
111109, 110sylib 206 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
112105, 111syl5eq 2655 . . . 4 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
113104, 112eqtrd 2643 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = (𝐶(,)𝐵))
11413, 10, 50, 95, 113mvth 23476 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)))
115 reeanv 3085 . . 3 (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))))
11674fveq1d 6090 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥))
117 fvres 6102 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
118117adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
119116, 118sylan9eq 2663 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
12013rexrd 9945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
121 ubicc2 12116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
122106, 120, 90, 121syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
123 fvres 6102 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
125 lbicc2 12115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
126106, 120, 90, 125syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
127 fvres 6102 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
129124, 128oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) = ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)))
130129oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
131130adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
132119, 131eqeq12d 2624 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴))))
133103fveq1d 6090 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦))
134 fvres 6102 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
135134adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
136133, 135sylan9eq 2663 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
137 ubicc2 12116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
138120, 77, 51, 137syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
139 fvres 6102 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
141 lbicc2 12115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
142120, 77, 51, 141syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
143 fvres 6102 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
145140, 144oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)))
146145oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
147146adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
148136, 147eqeq12d 2624 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
149132, 148anbi12d 742 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))))
150 elioore 12032 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
151150ad2antrl 759 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15213adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
153 elioore 12032 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
154153ad2antll 760 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
155 eliooord 12060 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐶))
156155ad2antrl 759 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐶))
157156simprd 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
158 eliooord 12060 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
159158ad2antll 760 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
160159simpld 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 < 𝑦)
161151, 152, 154, 157, 160lttrd 10049 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝑦)
16280adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
16379sselda 3567 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
164163adantrr 748 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
165108sselda 3567 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
166165adantrl 747 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
167 isorel 6454 . . . . . . . . 9 (((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
168162, 164, 166, 167syl12anc 1315 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
169161, 168mpbid 220 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
170 breq12 4582 . . . . . . 7 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
171169, 170syl5ibcom 233 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
17253, 122sseldd 3568 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17360, 172ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
17453, 126sseldd 3568 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17560, 174ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
176173, 175resubcld 10309 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
17727gt0ne0d 10441 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
178176, 9, 177redivcld 10702 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ)
17993, 138sseldd 3568 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18060, 179ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
181180, 173resubcld 10309 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
18242gt0ne0d 10441 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ 0)
183181, 5, 182redivcld 10702 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ)
18410, 1resubcld 10309 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1851, 10posdifd 10463 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
18621, 185mpbid 220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
187 ltdiv1 10736 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴))))
188178, 183, 184, 186, 187syl112anc 1321 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴))))
189176recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
190189, 15mulcomd 9917 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) = (𝑇 · ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴))))
191173recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
192175recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
19315, 191, 192subdid 10336 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 · ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴))) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
194190, 193eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
195181recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
1969recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
197195, 196mulcomd 9917 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶))))
198180recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
199196, 198, 191subdid 10336 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
200197, 199eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) = (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
201194, 200breq12d 4590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)))))
2025, 42jca 552 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇))
2039, 27jca 552 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))
204 lt2mul2div 10750 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) ∧ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇)))
205176, 202, 181, 203, 204syl22anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇)))
2065, 173remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
207206recnd 9924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
2089, 173remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
209208recnd 9924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
2105, 175remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
211210recnd 9924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
212207, 209, 211addsubd 10264 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) = (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
213 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
214 pncan3 10140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
21515, 213, 214sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
216215oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹𝐶)) = (1 · (𝐹𝐶)))
21715, 196, 191adddird 9921 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹𝐶)) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
218191mulid2d 9914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 · (𝐹𝐶)) = (𝐹𝐶))
219216, 217, 2183eqtr3d 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) = (𝐹𝐶))
220219oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) = ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
221212, 220eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
222221breq1d 4587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))
223206, 210resubcld 10309 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) ∈ ℝ)
2249, 180remulcld 9926 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
225223, 208, 224ltaddsubd 10476 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)))))
226173, 210, 224ltsubadd2d 10474 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
227222, 225, 2263bitr3d 296 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
228201, 205, 2273bitr3d 296 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
229184recnd 9924 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
230186gt0ne0d 10441 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
231189, 196, 229, 177, 230divdiv1d 10681 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴))))
23220oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
23311recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
2346recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
235233, 16, 234subsub3d 10273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
236232, 235eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
237196, 36, 16subdid 10336 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
238234, 233addcomd 10089 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
2392, 238syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
240239oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐴) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
241236, 237, 2403eqtr4d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴)) = (𝐶𝐴))
242241oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴))) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
243231, 242eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
244195, 15, 229, 182, 230divdiv1d 10681 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝑇 · (𝐵𝐴))))
24536, 233, 234subsub4d 10274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
24640oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))))
24741recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
24836, 247nncand 10248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))) = (𝑇 · 𝐵))
249246, 248eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝑇 · 𝐵))
250249oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
251245, 250eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
252239oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐶) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
25315, 36, 16subdid 10336 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
254251, 252, 2533eqtr4d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐶) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
255254oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝑇 · (𝐵𝐴))))
256244, 255eqtr4d 2646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
257243, 256breq12d 4590 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
258188, 228, 2573bitr3rd 297 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
259258adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
260171, 259sylibd 227 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
261149, 260sylbid 228 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
262261rexlimdvva 3019 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
263115, 262syl5bir 231 . 2 (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
26489, 114, 263mp2and 710 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  cin 3538  wss 3539   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  ran crn 5029  cres 5030  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790   Isom wiso 5791  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  (,)cioo 12002  [,]cicc 12005  TopOpenctopn 15851  topGenctg 15867  fldccnfld 19513  intcnt 20573  cnccncf 22418   D cdv 23350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354
This theorem is referenced by:  efcvx  23924  logccv  24126
  Copyright terms: Public domain W3C validator