MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcvx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcvx 23828
Description: A real function with strictly increasing derivative is strictly convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcvx.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvcvx.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvcvx.l (𝜑𝐴 < 𝐵)
dvcvx.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvcvx.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
dvcvx.t (𝜑𝑇 ∈ (0(,)1))
dvcvx.c 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvcvx (𝜑 → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))

Proof of Theorem dvcvx
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcvx.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 dvcvx.c . . . 4 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
3 dvcvx.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (0(,)1))
4 elioore 12243 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
65, 1remulcld 10108 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ)
7 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 resubcl 10383 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
97, 5, 8sylancr 696 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
10 dvcvx.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
119, 10remulcld 10108 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℝ)
126, 11readdcld 10107 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℝ)
132, 12syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
14 1cnd 10094 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
155recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
161recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1714, 15, 16subdird 10525 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
1816mulid2d 10096 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1918oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
2017, 19eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
21 dvcvx.l . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
22 eliooord 12271 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑇𝑇 < 1))
233, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 < 𝑇𝑇 < 1))
2423simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 < 1)
25 posdif 10559 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
265, 7, 25sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
2724, 26mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇))
28 ltmul2 10912 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
291, 10, 9, 27, 28syl112anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3021, 29mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
3120, 30eqbrtrrd 4709 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))
321, 6, 11ltsubadd2d 10663 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
3331, 32mpbid 222 . . . 4 (𝜑𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
3433, 2syl6breqr 4727 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐶)
351leidd 10632 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐴)
3610recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3714, 15, 36subdird 10525 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)))
3836mulid2d 10096 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
3938oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
4037, 39eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))
415, 10remulcld 10108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ)
4223simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑇)
43 ltmul2 10912 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
441, 10, 5, 42, 43syl112anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)))
4521, 44mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵))
466, 41, 10, 45ltsub2dd 10678 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
4740, 46eqbrtrd 4707 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))
486, 11, 10ltaddsub2d 10666 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴))))
4947, 48mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵)
502, 49syl5eqbr 4720 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 𝐵)
5113, 10, 50ltled 10223 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐵)
52 iccss 12279 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐴𝐶𝐵)) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
531, 10, 35, 51, 52syl22anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
54 dvcvx.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
55 rescncf 22747 . . . 4 ((𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ)))
5653, 54, 55sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ))
57 ax-resscn 10031 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59 cncff 22743 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
6054, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
61 fss 6094 . . . . . . . 8 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
6260, 57, 61sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
63 iccssre 12293 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
641, 10, 63syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65 iccssre 12293 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
661, 13, 65syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)
67 eqid 2651 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867tgioo2 22653 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6967, 68dvres 23720 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
7058, 62, 64, 66, 69syl22anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))))
71 iccntr 22671 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
721, 13, 71syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
7372reseq2d 5428 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
7470, 73eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
7574dmeqd 5358 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)))
76 dmres 5454 . . . . 5 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
7710rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
78 iooss2 12249 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
7977, 51, 78syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
80 dvcvx.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
81 isof1o 6613 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto𝑊)
82 f1odm 6179 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto𝑊 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
8380, 81, 823syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
8479, 83sseqtr4d 3675 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
85 df-ss 3621 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
8684, 85sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶))
8776, 86syl5eq 2697 . . . 4 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
8875, 87eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = (𝐴(,)𝐶))
891, 13, 34, 56, 88mvth 23800 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)))
901, 13, 34ltled 10223 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
9110leidd 10632 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐵)
92 iccss 12279 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐵)) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
931, 10, 90, 91, 92syl22anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
94 rescncf 22747 . . . 4 ((𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ)))
9593, 54, 94sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ))
96 iccssre 12293 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9713, 10, 96syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9867, 68dvres 23720 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
9958, 62, 64, 97, 98syl22anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))))
100 iccntr 22671 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
10113, 10, 100syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
102101reseq2d 5428 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
10399, 102eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
104103dmeqd 5358 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)))
105 dmres 5454 . . . . 5 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
1061rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
107 iooss1 12248 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
108106, 90, 107syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
109108, 83sseqtr4d 3675 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
110 df-ss 3621 . . . . . 6 ((𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
111109, 110sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵))
112105, 111syl5eq 2697 . . . 4 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = (𝐶(,)𝐵))
113104, 112eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = (𝐶(,)𝐵))
11413, 10, 50, 95, 113mvth 23800 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)))
115 reeanv 3136 . . 3 (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))))
11674fveq1d 6231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥))
117 fvres 6245 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
118117adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
119116, 118sylan9eq 2705 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
12013rexrd 10127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
121 ubicc2 12327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
122106, 120, 90, 121syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶))
123 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
125 lbicc2 12326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
126106, 120, 90, 125syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶))
127 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
129124, 128oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) = ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)))
130129oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
131130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
132119, 131eqeq12d 2666 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴))))
133103fveq1d 6231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦))
134 fvres 6245 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
135134adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
136133, 135sylan9eq 2705 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
137 ubicc2 12327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
138120, 77, 51, 137syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵))
139 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
141 lbicc2 12326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
142120, 77, 51, 141syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵))
143 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
145140, 144oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)))
146145oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
147146adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
148136, 147eqeq12d 2666 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
149132, 148anbi12d 747 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))))
150 elioore 12243 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
151150ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15213adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
153 elioore 12243 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
154153ad2antll 765 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
155 eliooord 12271 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐶))
156155ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐶))
157156simprd 478 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
158 eliooord 12271 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
159158ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
160159simpld 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 < 𝑦)
161151, 152, 154, 157, 160lttrd 10236 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝑦)
16280adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊))
16379sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
164163adantrr 753 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
165108sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
166165adantrl 752 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
167 isorel 6616 . . . . . . . . 9 (((ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
168162, 164, 166, 167syl12anc 1364 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
169161, 168mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
170 breq12 4690 . . . . . . 7 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
171169, 170syl5ibcom 235 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
17253, 122sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17360, 172ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
17453, 126sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17560, 174ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
176173, 175resubcld 10496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
17727gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0)
178176, 9, 177redivcld 10891 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ)
17993, 138sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18060, 179ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
181180, 173resubcld 10496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
18242gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ≠ 0)
183181, 5, 182redivcld 10891 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ)
18410, 1resubcld 10496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1851, 10posdifd 10652 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
18621, 185mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
187 ltdiv1 10925 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴))))
188178, 183, 184, 186, 187syl112anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴))))
189176recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
190189, 15mulcomd 10099 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) = (𝑇 · ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴))))
191173recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
192175recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
19315, 191, 192subdid 10524 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 · ((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴))) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
194190, 193eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
195181recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
1969recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
197195, 196mulcomd 10099 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶))))
198180recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
199196, 198, 191subdid 10524 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
200197, 199eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) = (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
201194, 200breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)))))
2025, 42jca 553 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇))
2039, 27jca 553 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))
204 lt2mul2div 10939 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) ∧ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇)))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇)))
205176, 202, 181, 203, 204syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇)))
2065, 173remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
207206recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
2089, 173remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
209208recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
2105, 175remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
211210recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 · (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
212207, 209, 211addsubd 10451 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) = (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
213 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
214 pncan3 10327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
21515, 213, 214sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
216215oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹𝐶)) = (1 · (𝐹𝐶)))
21715, 196, 191adddird 10103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹𝐶)) = ((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))))
218191mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 · (𝐹𝐶)) = (𝐹𝐶))
219216, 217, 2183eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) = (𝐹𝐶))
220219oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) = ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
221212, 220eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))))
222221breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ ((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))
223206, 210resubcld 10496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) ∈ ℝ)
2249, 180remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
225223, 208, 224ltaddsubd 10665 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ ((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶)))))
226173, 210, 224ltsubadd2d 10663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
227222, 225, 2263bitr3d 298 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹𝐶)) − (𝑇 · (𝐹𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐶))) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
228201, 205, 2273bitr3d 298 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
229184recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
230186gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
231189, 196, 229, 177, 230divdiv1d 10870 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴))))
23220oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
23311recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ)
2346recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
235233, 16, 234subsub3d 10460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
236232, 235eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
237196, 36, 16subdid 10524 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
238234, 233addcomd 10276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
2392, 238syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))
240239oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐴) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴))
241236, 237, 2403eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴)) = (𝐶𝐴))
242241oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵𝐴))) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
243231, 242eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)))
244195, 15, 229, 182, 230divdiv1d 10870 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝑇 · (𝐵𝐴))))
24536, 233, 234subsub4d 10461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
24640oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))))
24741recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
24836, 247nncand 10435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))) = (𝑇 · 𝐵))
249246, 248eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝑇 · 𝐵))
250249oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
251245, 250eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
252239oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐶) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))))
25315, 36, 16subdid 10524 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
254251, 252, 2533eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐶) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
255254oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝑇 · (𝐵𝐴))))
256244, 255eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)))
257243, 256breq12d 4698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵𝐴)) < ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / 𝑇) / (𝐵𝐴)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))))
258188, 228, 2573bitr3rd 299 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
259258adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) < (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶)) ↔ (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
260171, 259sylibd 229 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐶) − (𝐹𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
261149, 260sylbid 230 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
262261rexlimdvva 3067 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
263115, 262syl5bir 233 . 2 (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵𝐶))) → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵)))))
26489, 114, 263mp2and 715 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) < ((𝑇 · (𝐹𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869  cnccncf 22726   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  efcvx  24248  logccv  24454
  Copyright terms: Public domain W3C validator