Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tmd 29114
Description: The extended nonnegative real numbers monoid is a topological monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.) (Proof Shortened by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0tmd (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd

Proof of Theorem xrge0tmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2614 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑦 = 0))
2 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
32negeqd 10127 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑦))
41, 3ifbieq2d 4061 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦)))
54cbvmptv 4673 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦)))
6 xrge0topn 29111 . . 3 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
75, 6xrge0iifmhm 29107 . 2 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
85, 6xrge0iifhmeo 29104 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) ∈ (IIHomeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
9 cnfldex 19519 . . . . . 6 fld ∈ V
10 ovex 6555 . . . . . 6 (0[,]1) ∈ V
11 eqid 2610 . . . . . . 7 (ℂflds (0[,]1)) = (ℂflds (0[,]1))
12 eqid 2610 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
1311, 12mgpress 18272 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1))))
149, 10, 13mp2an 704 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1)))
1511dfii4 22443 . . . . 5 II = (TopOpen‘(ℂflds (0[,]1)))
1614, 15mgptopn 18270 . . . 4 II = (TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
1716oveq1i 6537 . . 3 (IIHomeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))) = ((TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))Homeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
188, 17eleqtri 2686 . 2 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) ∈ ((TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))Homeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
19 eqid 2610 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
2019iistmd 29070 . 2 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
21 xrge0tps 29110 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
227, 18, 20, 21mhmhmeotmd 29095 1 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036  cmpt 4638  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  1c1 9794  +∞cpnf 9928  -cneg 10119  [,]cicc 12008  s cress 15645  TopOpenctopn 15854  *𝑠cxrs 15932  mulGrpcmgp 18261  fldccnfld 19516  Homeochmeo 21314  TopMndctmd 21632  IIcii 22434  logclog 24050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588  df-cos 14589  df-pi 14591  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-ordt 15933  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-ps 16972  df-tsr 16973  df-plusf 17013  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-subrg 18550  df-abv 18589  df-lmod 18637  df-scaf 18638  df-sra 18942  df-rgmod 18943  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-tmd 21634  df-tgp 21635  df-trg 21721  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-nm 22145  df-ngp 22146  df-nrg 22148  df-nlm 22149  df-ii 22436  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-log 24052
This theorem is referenced by:  esumsplit  29236  esumadd  29240  esumaddf  29244  esumcst  29246
  Copyright terms: Public domain W3C validator