Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iistmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iistmd 29110
Description: The closed unit forms a topological monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
df-iis 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
Assertion
Ref Expression
iistmd 𝐼 ∈ TopMnd

Proof of Theorem iistmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnnrg 22342 . . 3 fld ∈ NrmRing
2 nrgtrg 22252 . . 3 (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ TopRing)
3 eqid 2609 . . . 4 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
43trgtmd 21726 . . 3 (ℂfld ∈ TopRing → (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd)
51, 2, 4mp2b 10 . 2 (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd
6 unitsscn 29104 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℂ
7 1elunit 12121 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
8 iimulcl 22492 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
98rgen2a 2959 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)
10 nrgring 22225 . . . . 5 (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
113ringmgp 18325 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
121, 10, 11mp2b 10 . . . 4 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
13 cnfldbas 19520 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
143, 13mgpbas 18267 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15 cnfld1 19539 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
163, 15ringidval 18275 . . . . 5 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
17 cnfldmul 19522 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
183, 17mgpplusg 18265 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
1914, 16, 18issubm 17119 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))))
2012, 19ax-mp 5 . . 3 ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)))
216, 7, 9, 20mpbir3an 1236 . 2 (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
22 df-iis . . 3 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
2322submtmd 21666 . 2 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd ∧ (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))) → 𝐼 ∈ TopMnd)
245, 21, 23mp2an 703 1 𝐼 ∈ TopMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wss 3539  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794   · cmul 9798  [,]cicc 12008  s cress 15645  Mndcmnd 17066  SubMndcsubmnd 17106  mulGrpcmgp 18261  Ringcrg 18319  fldccnfld 19516  TopMndctmd 21632  TopRingctrg 21717  NrmRingcnrg 22142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-plusf 17013  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-subrg 18550  df-abv 18589  df-lmod 18637  df-scaf 18638  df-sra 18942  df-rgmod 18943  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-tmd 21634  df-tgp 21635  df-trg 21721  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-nm 22145  df-ngp 22146  df-nrg 22148  df-nlm 22149
This theorem is referenced by:  xrge0iifmhm  29147  xrge0pluscn  29148  xrge0tmd  29154
  Copyright terms: Public domain W3C validator