Theorem 0cnALT 8211

Description: Alternate proof of 0cn 8013. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnALT	|- 0 e. CC

Proof of Theorem 0cnALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7969	. . 3 |- _i e. CC
2		cnegex 8199	. . 3 |- ( _i e. CC -> E. x e. CC ( _i + x ) = 0 )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- E. x e. CC ( _i + x ) = 0
4		addcl 7999	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i + x ) e. CC )
5	1, 4	mpan 424	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( _i + x ) e. CC )
6		eleq1 2256	. . . 4 |- ( ( _i + x ) = 0 -> ( ( _i + x ) e. CC <-> 0 e. CC ) )
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( x e. CC -> ( ( _i + x ) = 0 -> 0 e. CC ) )
8	7	rexlimiv 2605	. 2 |- ( E. x e. CC ( _i + x ) = 0 -> 0 e. CC )
9	3, 8	ax-mp 5	1 |- 0 e. CC

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   _ici 7876   + caddc 7877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922

This theorem is referenced by: (None)