Theorem 0cnALT 8143

Description: Alternate proof of 0cn 7946. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnALT	|- 0 e. CC

Proof of Theorem 0cnALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7903	. . 3 |- _i e. CC
2		cnegex 8131	. . 3 |- ( _i e. CC -> E. x e. CC ( _i + x ) = 0 )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- E. x e. CC ( _i + x ) = 0
4		addcl 7933	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i + x ) e. CC )
5	1, 4	mpan 424	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( _i + x ) e. CC )
6		eleq1 2240	. . . 4 |- ( ( _i + x ) = 0 -> ( ( _i + x ) e. CC <-> 0 e. CC ) )
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( x e. CC -> ( ( _i + x ) = 0 -> 0 e. CC ) )
8	7	rexlimiv 2588	. 2 |- ( E. x e. CC ( _i + x ) = 0 -> 0 e. CC )
9	3, 8	ax-mp 5	1 |- 0 e. CC

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456  (class class class)co 5872   CCcc 7806   0cc0 7808   _ici 7810   + caddc 7811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-iota 5177  df-fv 5223  df-ov 5875

This theorem is referenced by: (None)