Theorem 0cnALT 8149

Description: Alternate proof of 0cn 7951. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnALT	|- 0 e. CC

Proof of Theorem 0cnALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7908	. . 3 |- _i e. CC
2		cnegex 8137	. . 3 |- ( _i e. CC -> E. x e. CC ( _i + x ) = 0 )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- E. x e. CC ( _i + x ) = 0
4		addcl 7938	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i + x ) e. CC )
5	1, 4	mpan 424	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( _i + x ) e. CC )
6		eleq1 2240	. . . 4 |- ( ( _i + x ) = 0 -> ( ( _i + x ) e. CC <-> 0 e. CC ) )
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( x e. CC -> ( ( _i + x ) = 0 -> 0 e. CC ) )
8	7	rexlimiv 2588	. 2 |- ( E. x e. CC ( _i + x ) = 0 -> 0 e. CC )
9	3, 8	ax-mp 5	1 |- 0 e. CC

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456  (class class class)co 5877   CCcc 7811   0cc0 7813   _ici 7815   + caddc 7816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880

This theorem is referenced by: (None)