Theorem 0cnALT 8216

Description: Alternate proof of 0cn 8018. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnALT	|- 0 e. CC

Proof of Theorem 0cnALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7974	. . 3 |- _i e. CC
2		cnegex 8204	. . 3 |- ( _i e. CC -> E. x e. CC ( _i + x ) = 0 )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- E. x e. CC ( _i + x ) = 0
4		addcl 8004	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i + x ) e. CC )
5	1, 4	mpan 424	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( _i + x ) e. CC )
6		eleq1 2259	. . . 4 |- ( ( _i + x ) = 0 -> ( ( _i + x ) e. CC <-> 0 e. CC ) )
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( x e. CC -> ( ( _i + x ) = 0 -> 0 e. CC ) )
8	7	rexlimiv 2608	. 2 |- ( E. x e. CC ( _i + x ) = 0 -> 0 e. CC )
9	3, 8	ax-mp 5	1 |- 0 e. CC

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   _ici 7881   + caddc 7882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925

This theorem is referenced by: (None)