Theorem 0cn 8231

Description: 0 is a complex number. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
0cn	|- 0 e. CC

Proof of Theorem 0cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-i2m1 8197	. 2 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
2		ax-icn 8187	. . . 4 |- _i e. CC
3		mulcl 8219	. . . 4 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC ) -> ( _i x. _i ) e. CC )
4	2, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- ( _i x. _i ) e. CC
5		ax-1cn 8185	. . 3 |- 1 e. CC
6		addcl 8217	. . 3 |- ( ( ( _i x. _i ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) + 1 ) e. CC )
7	4, 5, 6	mp2an 426	. 2 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) e. CC
8	1, 7	eqeltrri 2305	1 |- 0 e. CC

Syntax hints:   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   CCcc 8090   0cc0 8092   1c1 8093   _ici 8094   + caddc 8095   x. cmul 8097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-ial 1583  ax-ext 2213  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-mulcl 8190  ax-i2m1 8197

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2224  df-clel 2227

This theorem is referenced by:  0cnd  8232  c0ex  8233  addlid  8377  00id  8379  cnegexlem2  8414  negcl  8438  subid  8457  subid1  8458  neg0  8484  negid  8485  negsub  8486  subneg  8487  negneg  8488  negeq0  8492  negsubdi  8494  renegcl  8499  mul02  8625  mul01  8627  mulneg1  8633  ixi  8822  negap0  8869  muleqadd  8907  divvalap  8913  div0ap  8941  recgt0  9089  0m0e0  9314  2muline0  9428  elznn0  9555  ser0  10858  0exp0e1  10869  expeq0  10895  0exp  10899  sq0  10955  bcval5  11088  shftval3  11467  shftidt2  11472  cjap0  11547  cjne0  11548  abs0  11698  abs2dif  11746  clim0  11925  climz  11932  serclim0  11945  sumrbdclem  12018  fsum3cvg  12019  summodclem3  12021  summodclem2a  12022  fisumss  12033  fsumrelem  12112  ef0  12313  eftlub  12331  sin0  12370  tan0  12372  4sqlem11  13054  cncrng  14665  cnfld0  14667  cnbl0  15345  cnblcld  15346  dvconst  15505  dvconstre  15507  dvconstss  15509  dvcnp2cntop  15510  dvrecap  15524  dveflem  15537  plyun0  15547  plycjlemc  15571  plycj  15572  dvply2g  15577  sinhalfpilem  15602  sin2kpi  15622  cos2kpi  15623  sinkpi  15658  1sgm2ppw  15809  dcapnconst  16794