Theorem 0cnALT 8506

Description: Alternate proof of 0cn 8308. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnALT	⊢ 0 ∈ ℂ

Proof of Theorem 0cnALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8264	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
2		cnegex 8494	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0
4		addcl 8294	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i + 𝑥) ∈ ℂ)
5	1, 4	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (i + 𝑥) ∈ ℂ)
6		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ ((i + 𝑥) = 0 → ((i + 𝑥) ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((i + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℂ))
8	7	rexlimiv 2662	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℂ)
9	3, 8	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ∈ ℂ

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169  ici 8171   + caddc 8172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078

This theorem is referenced by: (None)