ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0cnALT GIF version

Theorem 0cnALT 7959
Description: Alternate proof of 0cn 7765. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0cnALT 0 ∈ ℂ

Proof of Theorem 0cnALT
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7722 . . 3 i ∈ ℂ
2 cnegex 7947 . . 3 (i ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0
4 addcl 7752 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i + 𝑥) ∈ ℂ)
51, 4mpan 420 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (i + 𝑥) ∈ ℂ)
6 eleq1 2202 . . . 4 ((i + 𝑥) = 0 → ((i + 𝑥) ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
75, 6syl5ibcom 154 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → ((i + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℂ))
87rexlimiv 2543 . 2 (∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℂ)
93, 8ax-mp 5 1 0 ∈ ℂ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1331  wcel 1480  wrex 2417  (class class class)co 5774  cc 7625  0cc0 7627  ici 7629   + caddc 7630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator