Theorem 0cnALT 8463

Description: Alternate proof of 0cn 8266. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnALT	⊢ 0 ∈ ℂ

Proof of Theorem 0cnALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8222	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
2		cnegex 8451	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0
4		addcl 8252	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i + 𝑥) ∈ ℂ)
5	1, 4	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (i + 𝑥) ∈ ℂ)
6		eleq1 2295	. . . 4 ⊢ ((i + 𝑥) = 0 → ((i + 𝑥) ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((i + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℂ))
8	7	rexlimiv 2654	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ (i + 𝑥) = 0 → 0 ∈ ℂ)
9	3, 8	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ∈ ℂ

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127  ici 8129   + caddc 8130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053

This theorem is referenced by: (None)