Theorem negeu 7946

Description: Existential uniqueness of negatives. Theorem I.2 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 22-Nov-1994.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negeu	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( A + x ) = B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem negeu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnegex 7933	. . 3 |- ( A e. CC -> E. y e. CC ( A + y ) = 0 )
2	1	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E. y e. CC ( A + y ) = 0 )
3		simpl 108	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) -> y e. CC )
4		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5		addcl 7738	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ B e. CC ) -> ( y + B ) e. CC )
6	3, 4, 5	syl2anr 288	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) -> ( y + B ) e. CC )
7		simplrr 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( A + y ) = 0 )
8	7	oveq1d 5782	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( A + y ) + B ) = ( 0 + B ) )
9		simplll 522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> A e. CC )
10		simplrl 524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> y e. CC )
11		simpllr 523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> B e. CC )
12	9, 10, 11	addassd 7781	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( A + y ) + B ) = ( A + ( y + B ) ) )
13	11	addid2d 7905	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( 0 + B ) = B )
14	8, 12, 13	3eqtr3rd 2179	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> B = ( A + ( y + B ) ) )
15	14	eqeq2d 2149	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( A + x ) = B <-> ( A + x ) = ( A + ( y + B ) ) ) )
16		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> x e. CC )
17	10, 11	addcld 7778	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( y + B ) e. CC )
18	9, 16, 17	addcand 7939	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( A + x ) = ( A + ( y + B ) ) <-> x = ( y + B ) ) )
19	15, 18	bitrd 187	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( A + x ) = B <-> x = ( y + B ) ) )
20	19	ralrimiva 2503	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) -> A. x e. CC ( ( A + x ) = B <-> x = ( y + B ) ) )
21		reu6i 2870	. . 3 |- ( ( ( y + B ) e. CC /\ A. x e. CC ( ( A + x ) = B <-> x = ( y + B ) ) ) -> E! x e. CC ( A + x ) = B )
22	6, 20, 21	syl2anc 408	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) -> E! x e. CC ( A + x ) = B )
23	2, 22	rexlimddv 2552	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( A + x ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   E!wreu 2416  (class class class)co 5767   CCcc 7611   0cc0 7613   + caddc 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770

This theorem is referenced by:  subval  7947  subcl  7954  subadd  7958