Theorem negeu 7671

Description: Existential uniqueness of negatives. Theorem I.2 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 22-Nov-1994.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negeu	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( A + x ) = B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem negeu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnegex 7658	. . 3 |- ( A e. CC -> E. y e. CC ( A + y ) = 0 )
2	1	adantr 270	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E. y e. CC ( A + y ) = 0 )
3		simpl 107	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) -> y e. CC )
4		simpr 108	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5		addcl 7465	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ B e. CC ) -> ( y + B ) e. CC )
6	3, 4, 5	syl2anr 284	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) -> ( y + B ) e. CC )
7		simplrr 503	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( A + y ) = 0 )
8	7	oveq1d 5667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( A + y ) + B ) = ( 0 + B ) )
9		simplll 500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> A e. CC )
10		simplrl 502	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> y e. CC )
11		simpllr 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> B e. CC )
12	9, 10, 11	addassd 7508	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( A + y ) + B ) = ( A + ( y + B ) ) )
13	11	addid2d 7630	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( 0 + B ) = B )
14	8, 12, 13	3eqtr3rd 2129	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> B = ( A + ( y + B ) ) )
15	14	eqeq2d 2099	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( A + x ) = B <-> ( A + x ) = ( A + ( y + B ) ) ) )
16		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> x e. CC )
17	10, 11	addcld 7505	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( y + B ) e. CC )
18	9, 16, 17	addcand 7664	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( A + x ) = ( A + ( y + B ) ) <-> x = ( y + B ) ) )
19	15, 18	bitrd 186	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( A + x ) = B <-> x = ( y + B ) ) )
20	19	ralrimiva 2446	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) -> A. x e. CC ( ( A + x ) = B <-> x = ( y + B ) ) )
21		reu6i 2806	. . 3 |- ( ( ( y + B ) e. CC /\ A. x e. CC ( ( A + x ) = B <-> x = ( y + B ) ) ) -> E! x e. CC ( A + x ) = B )
22	6, 20, 21	syl2anc 403	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( A + y ) = 0 ) ) -> E! x e. CC ( A + x ) = B )
23	2, 22	rexlimddv 2493	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E! x e. CC ( A + x ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   E!wreu 2361  (class class class)co 5652   CCcc 7346   0cc0 7348   + caddc 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-iota 4980  df-fv 5023  df-ov 5655

This theorem is referenced by:  subval  7672  subcl  7679  subadd  7683