Theorem 0nnei 14700

Description: The empty set is not a neighborhood of a nonempty set. (Contributed by FL, 18-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0nnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem 0nnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 14698	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ∅)
2		ss0b 3504	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ∅ ↔ 𝑆 = ∅)
3	1, 2	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 = ∅)
4	3	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 = ∅))
5	4	necon3ad 2419	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
6	5	imp 124	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  ‘cfv 5280  Topctop 14544  neicnei 14685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-top 14545  df-nei 14686

This theorem is referenced by: (None)