Theorem 0nnei 12361

Description: The empty set is not a neighborhood of a nonempty set. (Contributed by FL, 18-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0nnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem 0nnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 12359	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ∅)
2		ss0b 3407	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ∅ ↔ 𝑆 = ∅)
3	1, 2	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 = ∅)
4	3	ex 114	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 = ∅))
5	4	necon3ad 2351	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
6	5	imp 123	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368  ‘cfv 5131  Topctop 12203  neicnei 12346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-top 12204  df-nei 12347

This theorem is referenced by: (None)