Theorem neipsm 14474

Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition 1 of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
neipsm	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ E. x x e. S ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Distinct variable groups:   J, p   N, p   S, p   X, p   x, p, S

Allowed substitution hints:   J( x)   N( x)   X( x)

Proof of Theorem neipsm

Dummy variables g h v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3767	. . . . . 6 |- ( p e. S -> { p } C_ S )
2		neiss 14470	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ { p } C_ S ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) )
3	1, 2	syl3an3 1284	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ p e. S ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) )
4	3	3exp 1204	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> ( p e. S -> N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) ) )
5	4	ralrimdv 2576	. . 3 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
6	5	3ad2ant1 1020	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ E. x x e. S ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )
7		eleq1w 2257	. . . . . . 7 |- ( p = x -> ( p e. S <-> x e. S ) )
8	7	cbvexv 1933	. . . . . 6 |- ( E. p p e. S <-> E. x x e. S )
9		r19.28mv 3544	. . . . . 6 |- ( E. p p e. S -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
10	8, 9	sylbir 135	. . . . 5 |- ( E. x x e. S -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
11	10	3ad2ant3 1022	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ E. x x e. S ) -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
12		ssrab2 3269	. . . . . . . . . 10 |- { v e. J | v C_ N } C_ J
13		uniopn 14321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ { v e. J | v C_ N } C_ J ) -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
14	12, 13	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
15	14	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> U. { v e. J | v C_ N } e. J )
16		sseq1 3207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = g -> ( v C_ N <-> g C_ N ) )
17	16	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. { v e. J | v C_ N } <-> ( g e. J /\ g C_ N ) )
18		elunii 3845	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. g /\ g e. { v e. J | v C_ N } ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
19	17, 18	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. g /\ ( g e. J /\ g C_ N ) ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
20	19	an12s 565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g e. J /\ ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
21	20	rexlimiva 2609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> p e. U. { v e. J | v C_ N } )
22	21	ralimi 2560	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> A. p e. S p e. U. { v e. J | v C_ N } )
23		dfss3 3173	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } <-> A. p e. S p e. U. { v e. J | v C_ N } )
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> S C_ U. { v e. J | v C_ N } )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> S C_ U. { v e. J | v C_ N } )
26		unissb 3870	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { v e. J | v C_ N } C_ N <-> A. h e. { v e. J | v C_ N } h C_ N )
27		sseq1 3207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = h -> ( v C_ N <-> h C_ N ) )
28	27	elrab 2920	. . . . . . . . . . 11 |- ( h e. { v e. J | v C_ N } <-> ( h e. J /\ h C_ N ) )
29	28	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( h e. { v e. J | v C_ N } -> h C_ N )
30	26, 29	mprgbir 2555	. . . . . . . . 9 |- U. { v e. J | v C_ N } C_ N
31	25, 30	jctir 313	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) )
32		sseq2 3208	. . . . . . . . . 10 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( S C_ h <-> S C_ U. { v e. J | v C_ N } ) )
33		sseq1 3207	. . . . . . . . . 10 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( h C_ N <-> U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) )
34	32, 33	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( h = U. { v e. J | v C_ N } -> ( ( S C_ h /\ h C_ N ) <-> ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) ) )
35	34	rspcev 2868	. . . . . . . 8 |- ( ( U. { v e. J | v C_ N } e. J /\ ( S C_ U. { v e. J | v C_ N } /\ U. { v e. J | v C_ N } C_ N ) ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) )
36	15, 31, 35	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) )
37	36	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) -> E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) )
38	37	anim2d 337	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
39	38	3adant3 1019	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ E. x x e. S ) -> ( ( N C_ X /\ A. p e. S E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
40	11, 39	sylbid 150	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ E. x x e. S ) -> ( A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) -> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
41		ssel2 3179	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ X /\ p e. S ) -> p e. X )
42		neips.1	. . . . . . . 8 |- X = U. J
43	42	isneip 14466	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ p e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
44	41, 43	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( S C_ X /\ p e. S ) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
45	44	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ p e. S ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
46	45	ralbidva 2493	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
47	46	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ E. x x e. S ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) <-> A. p e. S ( N C_ X /\ E. g e. J ( p e. g /\ g C_ N ) ) ) )
48	42	isnei 14464	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
49	48	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ E. x x e. S ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ X /\ E. h e. J ( S C_ h /\ h C_ N ) ) ) )
50	40, 47, 49	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ E. x x e. S ) -> ( A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
51	6, 50	impbid 129	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ E. x x e. S ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> A. p e. S N e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   {csn 3623   U.cuni 3840   ` cfv 5259   Topctop 14317   neicnei 14458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-top 14318  df-nei 14459

This theorem is referenced by: (None)