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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > neipsm | Unicode version |
Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition 1 of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Mar-2023.) |
Ref | Expression |
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neips.1 |
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neipsm |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | snssi 3751 |
. . . . . 6
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2 | neiss 14087 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | syl3an3 1284 |
. . . . 5
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4 | 3 | 3exp 1204 |
. . . 4
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5 | 4 | ralrimdv 2569 |
. . 3
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6 | 5 | 3ad2ant1 1020 |
. 2
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7 | eleq1w 2250 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | cbvexv 1930 |
. . . . . 6
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9 | r19.28mv 3530 |
. . . . . 6
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10 | 8, 9 | sylbir 135 |
. . . . 5
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11 | 10 | 3ad2ant3 1022 |
. . . 4
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12 | ssrab2 3255 |
. . . . . . . . . 10
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13 | uniopn 13938 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 12, 13 | mpan2 425 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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16 | sseq1 3193 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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17 | 16 | elrab 2908 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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18 | elunii 3829 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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19 | 17, 18 | sylan2br 288 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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20 | 19 | an12s 565 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 20 | rexlimiva 2602 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 21 | ralimi 2553 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | dfss3 3160 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 22, 23 | sylibr 134 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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26 | unissb 3854 |
. . . . . . . . . 10
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27 | sseq1 3193 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 27 | elrab 2908 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28 | simprbi 275 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 26, 29 | mprgbir 2548 |
. . . . . . . . 9
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31 | 25, 30 | jctir 313 |
. . . . . . . 8
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32 | sseq2 3194 |
. . . . . . . . . 10
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33 | sseq1 3193 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 32, 33 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | rspcev 2856 |
. . . . . . . 8
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36 | 15, 31, 35 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | ex 115 |
. . . . . 6
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38 | 37 | anim2d 337 |
. . . . 5
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39 | 38 | 3adant3 1019 |
. . . 4
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40 | 11, 39 | sylbid 150 |
. . 3
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41 | ssel2 3165 |
. . . . . . 7
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42 | neips.1 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | isneip 14083 |
. . . . . . 7
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44 | 41, 43 | sylan2 286 |
. . . . . 6
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45 | 44 | anassrs 400 |
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46 | 45 | ralbidva 2486 |
. . . 4
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47 | 46 | 3adant3 1019 |
. . 3
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48 | 42 | isnei 14081 |
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49 | 48 | 3adant3 1019 |
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50 | 40, 47, 49 | 3imtr4d 203 |
. 2
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51 | 6, 50 | impbid 129 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4308 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5234 df-fn 5235 df-f 5236 df-f1 5237 df-fo 5238 df-f1o 5239 df-fv 5240 df-top 13935 df-nei 14076 |
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