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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > neipsm | Unicode version |
Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition 1 of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Mar-2023.) |
Ref | Expression |
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neips.1 |
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neipsm |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | snssi 3630 |
. . . . . 6
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2 | neiss 12162 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | syl3an3 1234 |
. . . . 5
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4 | 3 | 3exp 1163 |
. . . 4
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5 | 4 | ralrimdv 2485 |
. . 3
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6 | 5 | 3ad2ant1 985 |
. 2
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7 | eleq1w 2175 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | cbvexv 1870 |
. . . . . 6
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9 | r19.28mv 3421 |
. . . . . 6
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10 | 8, 9 | sylbir 134 |
. . . . 5
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11 | 10 | 3ad2ant3 987 |
. . . 4
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12 | ssrab2 3148 |
. . . . . . . . . 10
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13 | uniopn 12011 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 12, 13 | mpan2 419 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | ad2antrr 477 |
. . . . . . . 8
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16 | sseq1 3086 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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17 | 16 | elrab 2809 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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18 | elunii 3707 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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19 | 17, 18 | sylan2br 284 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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20 | 19 | an12s 537 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 20 | rexlimiva 2518 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 21 | ralimi 2469 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | dfss3 3053 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 22, 23 | sylibr 133 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | adantl 273 |
. . . . . . . . 9
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26 | unissb 3732 |
. . . . . . . . . 10
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27 | sseq1 3086 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 27 | elrab 2809 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28 | simprbi 271 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 26, 29 | mprgbir 2464 |
. . . . . . . . 9
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31 | 25, 30 | jctir 309 |
. . . . . . . 8
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32 | sseq2 3087 |
. . . . . . . . . 10
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33 | sseq1 3086 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 32, 33 | anbi12d 462 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | rspcev 2760 |
. . . . . . . 8
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36 | 15, 31, 35 | syl2anc 406 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | ex 114 |
. . . . . 6
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38 | 37 | anim2d 333 |
. . . . 5
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39 | 38 | 3adant3 984 |
. . . 4
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40 | 11, 39 | sylbid 149 |
. . 3
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41 | ssel2 3058 |
. . . . . . 7
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42 | neips.1 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | isneip 12158 |
. . . . . . 7
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44 | 41, 43 | sylan2 282 |
. . . . . 6
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45 | 44 | anassrs 395 |
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46 | 45 | ralbidva 2407 |
. . . 4
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47 | 46 | 3adant3 984 |
. . 3
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48 | 42 | isnei 12156 |
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49 | 48 | 3adant3 984 |
. . 3
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50 | 40, 47, 49 | 3imtr4d 202 |
. 2
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51 | 6, 50 | impbid 128 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 681 ax-5 1406 ax-7 1407 ax-gen 1408 ax-ie1 1452 ax-ie2 1453 ax-8 1465 ax-10 1466 ax-11 1467 ax-i12 1468 ax-bndl 1469 ax-4 1470 ax-14 1475 ax-17 1489 ax-i9 1493 ax-ial 1497 ax-i5r 1498 ax-ext 2097 ax-coll 4003 ax-sep 4006 ax-pow 4058 ax-pr 4091 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 947 df-tru 1317 df-nf 1420 df-sb 1719 df-eu 1978 df-mo 1979 df-clab 2102 df-cleq 2108 df-clel 2111 df-nfc 2244 df-ral 2395 df-rex 2396 df-reu 2397 df-rab 2399 df-v 2659 df-sbc 2879 df-csb 2972 df-un 3041 df-in 3043 df-ss 3050 df-pw 3478 df-sn 3499 df-pr 3500 df-op 3502 df-uni 3703 df-iun 3781 df-br 3896 df-opab 3950 df-mpt 3951 df-id 4175 df-xp 4505 df-rel 4506 df-cnv 4507 df-co 4508 df-dm 4509 df-rn 4510 df-res 4511 df-ima 4512 df-iota 5046 df-fun 5083 df-fn 5084 df-f 5085 df-f1 5086 df-fo 5087 df-f1o 5088 df-fv 5089 df-top 12008 df-nei 12151 |
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