Theorem 2rexuz 9815

Description: Double existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 3-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2rexuz	|- ( E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ph <-> E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) )

Distinct variable group:   m, n

Allowed substitution hints:   ph( m, n)

Proof of Theorem 2rexuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz2 9814	. . 3 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) ph <-> ( m e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) ) )
2	1	exbii 1653	. 2 |- ( E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ph <-> E. m ( m e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) ) )
3		df-rex 2516	. 2 |- ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) <-> E. m ( m e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) ) )
4	2, 3	bitr4i 187	1 |- ( E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ph <-> E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1540   e. wcel 2202   E.wrex 2511   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   <_ cle 8214   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-neg 8352  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by: (None)