Theorem 2rexuz 9703

Description: Double existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 3-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2rexuz	|- ( E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ph <-> E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) )

Distinct variable group:   m, n

Allowed substitution hints:   ph( m, n)

Proof of Theorem 2rexuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz2 9702	. . 3 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) ph <-> ( m e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) ) )
2	1	exbii 1628	. 2 |- ( E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ph <-> E. m ( m e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) ) )
3		df-rex 2490	. 2 |- ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) <-> E. m ( m e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) ) )
4	2, 3	bitr4i 187	1 |- ( E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ph <-> E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( m <_ n /\ ph ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1515   e. wcel 2176   E.wrex 2485   class class class wbr 4044   ` cfv 5271   <_ cle 8108   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-neg 8246  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by: (None)