Theorem peano2uz 9739

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
2		peano2z 9443	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1022	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zre 9411	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9411	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		letrp1 8956	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
7	5, 6	syl3an2 1284	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
8	4, 7	syl3an1 1283	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
9	1, 3, 8	3jca 1180	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
10		eluz2 9689	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
11		eluz2 9689	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   <_ cle 8143   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  peano2uzs  9740  peano2uzr  9741  uzaddcl  9742  fzsplit  10208  fzssp1  10224  fzsuc  10226  fzpred  10227  fzp1ss  10230  fzp1elp1  10232  fztp  10235  fzneuz  10258  fzosplitsnm1  10375  fzofzp1  10393  fzosplitsn  10399  fzostep1  10403  zsupcllemstep  10409  infssuzex  10413  frec2uzuzd  10584  frecuzrdgrrn  10590  frec2uzrdg  10591  frecuzrdgrcl  10592  frecuzrdgsuc  10596  frecuzrdgrclt  10597  frecuzrdgg  10598  frecuzrdgsuctlem  10605  frecfzen2  10609  fzfig  10612  uzsinds  10626  iseqovex  10640  seq3val  10642  seqvalcd  10643  seqf  10646  seq3p1  10647  seq3split  10670  seqsplitg  10671  seqf1oglem1  10701  seqf1oglem2  10702  seq3homo  10709  seq3z  10710  ser3ge0  10718  faclbnd3  10925  bcm1k  10942  seq3coll  11024  swrds1  11159  pfxccatpfx2  11228  clim2ser  11763  clim2ser2  11764  serf0  11778  fsump1  11846  fsump1i  11859  fsumparts  11896  isum1p  11918  cvgratnnlemmn  11951  mertenslemi1  11961  clim2prod  11965  clim2divap  11966  fprodntrivap  12010  fprodp1  12026  fprodabs  12042  pcfac  12788  gsumsplit1r  13345  gsumprval  13346  gsumfzconst  13792  gsumfzfsumlemm  14464  dvply2g  15353