Theorem peano2uz 9774

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
2		peano2z 9478	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1043	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zre 9446	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9446	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		letrp1 8991	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
7	5, 6	syl3an2 1305	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
8	4, 7	syl3an1 1304	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
9	1, 3, 8	3jca 1201	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
10		eluz2 9724	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
11		eluz2 9724	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   RRcr 7994   1c1 7996   + caddc 7998   <_ cle 8178   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719

This theorem is referenced by:  peano2uzs  9775  peano2uzr  9776  uzaddcl  9777  fzsplit  10243  fzssp1  10259  fzsuc  10261  fzpred  10262  fzp1ss  10265  fzp1elp1  10267  fztp  10270  fzneuz  10293  fzosplitsnm1  10410  fzofzp1  10428  fzosplitsn  10434  fzostep1  10438  zsupcllemstep  10444  infssuzex  10448  frec2uzuzd  10619  frecuzrdgrrn  10625  frec2uzrdg  10626  frecuzrdgrcl  10627  frecuzrdgsuc  10631  frecuzrdgrclt  10632  frecuzrdgg  10633  frecuzrdgsuctlem  10640  frecfzen2  10644  fzfig  10647  uzsinds  10661  iseqovex  10675  seq3val  10677  seqvalcd  10678  seqf  10681  seq3p1  10682  seq3split  10705  seqsplitg  10706  seqf1oglem1  10736  seqf1oglem2  10737  seq3homo  10744  seq3z  10745  ser3ge0  10753  faclbnd3  10960  bcm1k  10977  seq3coll  11059  swrds1  11195  pfxccatpfx2  11264  clim2ser  11843  clim2ser2  11844  serf0  11858  fsump1  11926  fsump1i  11939  fsumparts  11976  isum1p  11998  cvgratnnlemmn  12031  mertenslemi1  12041  clim2prod  12045  clim2divap  12046  fprodntrivap  12090  fprodp1  12106  fprodabs  12122  pcfac  12868  gsumsplit1r  13426  gsumprval  13427  gsumfzconst  13873  gsumfzfsumlemm  14545  dvply2g  15434