Theorem peano2uz 9535

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 992	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
2		peano2z 9241	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1014	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zre 9209	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9209	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		letrp1 8757	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
7	5, 6	syl3an2 1267	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
8	4, 7	syl3an1 1266	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
9	1, 3, 8	3jca 1172	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
10		eluz2 9486	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
11		eluz2 9486	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
12	9, 10, 11	3imtr4i 200	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   RRcr 7766   1c1 7768   + caddc 7770   <_ cle 7948   ZZcz 9205   ZZ>=cuz 9480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481

This theorem is referenced by:  peano2uzs  9536  peano2uzr  9537  uzaddcl  9538  fzsplit  10000  fzssp1  10016  fzsuc  10018  fzpred  10019  fzp1ss  10022  fzp1elp1  10024  fztp  10027  fzneuz  10050  fzosplitsnm1  10158  fzofzp1  10176  fzosplitsn  10182  fzostep1  10186  frec2uzuzd  10351  frecuzrdgrrn  10357  frec2uzrdg  10358  frecuzrdgrcl  10359  frecuzrdgsuc  10363  frecuzrdgrclt  10364  frecuzrdgg  10365  frecuzrdgsuctlem  10372  frecfzen2  10376  fzfig  10379  uzsinds  10391  iseqovex  10405  seq3val  10407  seqvalcd  10408  seqf  10410  seq3p1  10411  seq3split  10428  seq3homo  10459  seq3z  10460  ser3ge0  10466  faclbnd3  10670  bcm1k  10687  seq3coll  10770  clim2ser  11293  clim2ser2  11294  serf0  11308  fsump1  11376  fsump1i  11389  fsumparts  11426  isum1p  11448  cvgratnnlemmn  11481  mertenslemi1  11491  clim2prod  11495  clim2divap  11496  fprodntrivap  11540  fprodp1  11556  fprodabs  11572  zsupcllemstep  11893  infssuzex  11897  pcfac  12295