Theorem peano2uz 9915

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
2		peano2z 9613	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1046	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zre 9581	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9581	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		letrp1 9122	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
7	5, 6	syl3an2 1308	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
8	4, 7	syl3an1 1307	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
9	1, 3, 8	3jca 1204	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
10		eluz2 9859	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
11		eluz2 9859	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   RRcr 8126   1c1 8128   + caddc 8130   <_ cle 8309   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  peano2uzs  9916  peano2uzr  9917  uzaddcl  9918  fzsplit  10385  fzssp1  10401  fzsuc  10403  fzpred  10404  fzp1ss  10407  fzp1elp1  10409  fztp  10412  fzneuz  10435  fzosplitsnm1  10554  fzofzp1  10572  fzosplitsn  10578  fzosplitpr  10579  fzostep1  10583  zsupcllemstep  10589  infssuzex  10593  frec2uzuzd  10764  frecuzrdgrrn  10770  frec2uzrdg  10771  frecuzrdgrcl  10772  frecuzrdgsuc  10776  frecuzrdgrclt  10777  frecuzrdgg  10778  frecuzrdgsuctlem  10785  frecfzen2  10789  fzfig  10792  uzsinds  10806  iseqovex  10820  seq3val  10822  seqvalcd  10823  seqf  10826  seq3p1  10827  seq3split  10850  seqsplitg  10851  seqf1oglem1  10881  seqf1oglem2  10882  seq3homo  10889  seq3z  10890  ser3ge0  10898  faclbnd3  11105  bcm1k  11122  seq3coll  11214  swrds1  11360  pfxccatpfx2  11429  clim2ser  12022  clim2ser2  12023  serf0  12037  fsump1  12106  fsump1i  12119  fsumparts  12156  isum1p  12178  cvgratnnlemmn  12211  mertenslemi1  12221  clim2prod  12225  clim2divap  12226  fprodntrivap  12270  fprodp1  12286  fprodabs  12302  pcfac  13048  gsumsplit1r  13611  gsumprval  13612  gsumfzconst  14058  gsumfzfsumlemm  14735  dvply2g  15631