Theorem peano2uz 9790

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
2		peano2z 9493	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1043	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zre 9461	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9461	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		letrp1 9006	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
7	5, 6	syl3an2 1305	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
8	4, 7	syl3an1 1304	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
9	1, 3, 8	3jca 1201	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
10		eluz2 9739	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
11		eluz2 9739	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8009   1c1 8011   + caddc 8013   <_ cle 8193   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  peano2uzs  9791  peano2uzr  9792  uzaddcl  9793  fzsplit  10259  fzssp1  10275  fzsuc  10277  fzpred  10278  fzp1ss  10281  fzp1elp1  10283  fztp  10286  fzneuz  10309  fzosplitsnm1  10427  fzofzp1  10445  fzosplitsn  10451  fzostep1  10455  zsupcllemstep  10461  infssuzex  10465  frec2uzuzd  10636  frecuzrdgrrn  10642  frec2uzrdg  10643  frecuzrdgrcl  10644  frecuzrdgsuc  10648  frecuzrdgrclt  10649  frecuzrdgg  10650  frecuzrdgsuctlem  10657  frecfzen2  10661  fzfig  10664  uzsinds  10678  iseqovex  10692  seq3val  10694  seqvalcd  10695  seqf  10698  seq3p1  10699  seq3split  10722  seqsplitg  10723  seqf1oglem1  10753  seqf1oglem2  10754  seq3homo  10761  seq3z  10762  ser3ge0  10770  faclbnd3  10977  bcm1k  10994  seq3coll  11077  swrds1  11215  pfxccatpfx2  11284  clim2ser  11863  clim2ser2  11864  serf0  11878  fsump1  11946  fsump1i  11959  fsumparts  11996  isum1p  12018  cvgratnnlemmn  12051  mertenslemi1  12061  clim2prod  12065  clim2divap  12066  fprodntrivap  12110  fprodp1  12126  fprodabs  12142  pcfac  12888  gsumsplit1r  13446  gsumprval  13447  gsumfzconst  13893  gsumfzfsumlemm  14566  dvply2g  15455