Theorem peano2uz 9816

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
2		peano2z 9514	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1045	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zre 9482	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9482	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		letrp1 9027	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
7	5, 6	syl3an2 1307	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
8	4, 7	syl3an1 1306	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
9	1, 3, 8	3jca 1203	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
10		eluz2 9760	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
11		eluz2 9760	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   1c1 8032   + caddc 8034   <_ cle 8214   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  peano2uzs  9817  peano2uzr  9818  uzaddcl  9819  fzsplit  10285  fzssp1  10301  fzsuc  10303  fzpred  10304  fzp1ss  10307  fzp1elp1  10309  fztp  10312  fzneuz  10335  fzosplitsnm1  10453  fzofzp1  10471  fzosplitsn  10477  fzosplitpr  10478  fzostep1  10482  zsupcllemstep  10488  infssuzex  10492  frec2uzuzd  10663  frecuzrdgrrn  10669  frec2uzrdg  10670  frecuzrdgrcl  10671  frecuzrdgsuc  10675  frecuzrdgrclt  10676  frecuzrdgg  10677  frecuzrdgsuctlem  10684  frecfzen2  10688  fzfig  10691  uzsinds  10705  iseqovex  10719  seq3val  10721  seqvalcd  10722  seqf  10725  seq3p1  10726  seq3split  10749  seqsplitg  10750  seqf1oglem1  10780  seqf1oglem2  10781  seq3homo  10788  seq3z  10789  ser3ge0  10797  faclbnd3  11004  bcm1k  11021  seq3coll  11105  swrds1  11248  pfxccatpfx2  11317  clim2ser  11897  clim2ser2  11898  serf0  11912  fsump1  11980  fsump1i  11993  fsumparts  12030  isum1p  12052  cvgratnnlemmn  12085  mertenslemi1  12095  clim2prod  12099  clim2divap  12100  fprodntrivap  12144  fprodp1  12160  fprodabs  12176  pcfac  12922  gsumsplit1r  13480  gsumprval  13481  gsumfzconst  13927  gsumfzfsumlemm  14600  dvply2g  15489