Theorem peano2uz 9612

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
2		peano2z 9318	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zre 9286	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9286	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		letrp1 8834	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
7	5, 6	syl3an2 1283	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
8	4, 7	syl3an1 1282	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
9	1, 3, 8	3jca 1179	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
10		eluz2 9563	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
11		eluz2 9563	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   RRcr 7839   1c1 7841   + caddc 7843   <_ cle 8022   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558

This theorem is referenced by:  peano2uzs  9613  peano2uzr  9614  uzaddcl  9615  fzsplit  10080  fzssp1  10096  fzsuc  10098  fzpred  10099  fzp1ss  10102  fzp1elp1  10104  fztp  10107  fzneuz  10130  fzosplitsnm1  10238  fzofzp1  10256  fzosplitsn  10262  fzostep1  10266  frec2uzuzd  10432  frecuzrdgrrn  10438  frec2uzrdg  10439  frecuzrdgrcl  10440  frecuzrdgsuc  10444  frecuzrdgrclt  10445  frecuzrdgg  10446  frecuzrdgsuctlem  10453  frecfzen2  10457  fzfig  10460  uzsinds  10472  iseqovex  10486  seq3val  10488  seqvalcd  10489  seqf  10491  seq3p1  10492  seq3split  10509  seq3homo  10540  seq3z  10541  ser3ge0  10547  faclbnd3  10754  bcm1k  10771  seq3coll  10853  clim2ser  11376  clim2ser2  11377  serf0  11391  fsump1  11459  fsump1i  11472  fsumparts  11509  isum1p  11531  cvgratnnlemmn  11564  mertenslemi1  11574  clim2prod  11578  clim2divap  11579  fprodntrivap  11623  fprodp1  11639  fprodabs  11655  zsupcllemstep  11977  infssuzex  11981  pcfac  12381