Theorem peano2uz 9807

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
2		peano2z 9505	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1043	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zre 9473	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9473	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		letrp1 9018	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
7	5, 6	syl3an2 1305	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
8	4, 7	syl3an1 1304	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
9	1, 3, 8	3jca 1201	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
10		eluz2 9751	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
11		eluz2 9751	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   RRcr 8021   1c1 8023   + caddc 8025   <_ cle 8205   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  peano2uzs  9808  peano2uzr  9809  uzaddcl  9810  fzsplit  10276  fzssp1  10292  fzsuc  10294  fzpred  10295  fzp1ss  10298  fzp1elp1  10300  fztp  10303  fzneuz  10326  fzosplitsnm1  10444  fzofzp1  10462  fzosplitsn  10468  fzosplitpr  10469  fzostep1  10473  zsupcllemstep  10479  infssuzex  10483  frec2uzuzd  10654  frecuzrdgrrn  10660  frec2uzrdg  10661  frecuzrdgrcl  10662  frecuzrdgsuc  10666  frecuzrdgrclt  10667  frecuzrdgg  10668  frecuzrdgsuctlem  10675  frecfzen2  10679  fzfig  10682  uzsinds  10696  iseqovex  10710  seq3val  10712  seqvalcd  10713  seqf  10716  seq3p1  10717  seq3split  10740  seqsplitg  10741  seqf1oglem1  10771  seqf1oglem2  10772  seq3homo  10779  seq3z  10780  ser3ge0  10788  faclbnd3  10995  bcm1k  11012  seq3coll  11096  swrds1  11239  pfxccatpfx2  11308  clim2ser  11888  clim2ser2  11889  serf0  11903  fsump1  11971  fsump1i  11984  fsumparts  12021  isum1p  12043  cvgratnnlemmn  12076  mertenslemi1  12086  clim2prod  12090  clim2divap  12091  fprodntrivap  12135  fprodp1  12151  fprodabs  12167  pcfac  12913  gsumsplit1r  13471  gsumprval  13472  gsumfzconst  13918  gsumfzfsumlemm  14591  dvply2g  15480