Theorem peano2uz 9861

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
2		peano2z 9559	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1046	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zre 9527	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9527	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		letrp1 9070	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
7	5, 6	syl3an2 1308	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
8	4, 7	syl3an1 1307	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
9	1, 3, 8	3jca 1204	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
10		eluz2 9805	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
11		eluz2 9805	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8074   1c1 8076   + caddc 8078   <_ cle 8257   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800

This theorem is referenced by:  peano2uzs  9862  peano2uzr  9863  uzaddcl  9864  fzsplit  10331  fzssp1  10347  fzsuc  10349  fzpred  10350  fzp1ss  10353  fzp1elp1  10355  fztp  10358  fzneuz  10381  fzosplitsnm1  10500  fzofzp1  10518  fzosplitsn  10524  fzosplitpr  10525  fzostep1  10529  zsupcllemstep  10535  infssuzex  10539  frec2uzuzd  10710  frecuzrdgrrn  10716  frec2uzrdg  10717  frecuzrdgrcl  10718  frecuzrdgsuc  10722  frecuzrdgrclt  10723  frecuzrdgg  10724  frecuzrdgsuctlem  10731  frecfzen2  10735  fzfig  10738  uzsinds  10752  iseqovex  10766  seq3val  10768  seqvalcd  10769  seqf  10772  seq3p1  10773  seq3split  10796  seqsplitg  10797  seqf1oglem1  10827  seqf1oglem2  10828  seq3homo  10835  seq3z  10836  ser3ge0  10844  faclbnd3  11051  bcm1k  11068  seq3coll  11152  swrds1  11298  pfxccatpfx2  11367  clim2ser  11960  clim2ser2  11961  serf0  11975  fsump1  12044  fsump1i  12057  fsumparts  12094  isum1p  12116  cvgratnnlemmn  12149  mertenslemi1  12159  clim2prod  12163  clim2divap  12164  fprodntrivap  12208  fprodp1  12224  fprodabs  12240  pcfac  12986  gsumsplit1r  13544  gsumprval  13545  gsumfzconst  13991  gsumfzfsumlemm  14666  dvply2g  15560