Theorem peano2uz 9657

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
2		peano2z 9362	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zre 9330	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9330	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		letrp1 8875	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
7	5, 6	syl3an2 1283	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
8	4, 7	syl3an1 1282	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M <_ ( N + 1 ) )
9	1, 3, 8	3jca 1179	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
10		eluz2 9607	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
11		eluz2 9607	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( N + 1 ) ) )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   1c1 7880   + caddc 7882   <_ cle 8062   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  peano2uzs  9658  peano2uzr  9659  uzaddcl  9660  fzsplit  10126  fzssp1  10142  fzsuc  10144  fzpred  10145  fzp1ss  10148  fzp1elp1  10150  fztp  10153  fzneuz  10176  fzosplitsnm1  10285  fzofzp1  10303  fzosplitsn  10309  fzostep1  10313  zsupcllemstep  10319  infssuzex  10323  frec2uzuzd  10494  frecuzrdgrrn  10500  frec2uzrdg  10501  frecuzrdgrcl  10502  frecuzrdgsuc  10506  frecuzrdgrclt  10507  frecuzrdgg  10508  frecuzrdgsuctlem  10515  frecfzen2  10519  fzfig  10522  uzsinds  10536  iseqovex  10550  seq3val  10552  seqvalcd  10553  seqf  10556  seq3p1  10557  seq3split  10580  seqsplitg  10581  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  seq3homo  10619  seq3z  10620  ser3ge0  10628  faclbnd3  10835  bcm1k  10852  seq3coll  10934  clim2ser  11502  clim2ser2  11503  serf0  11517  fsump1  11585  fsump1i  11598  fsumparts  11635  isum1p  11657  cvgratnnlemmn  11690  mertenslemi1  11700  clim2prod  11704  clim2divap  11705  fprodntrivap  11749  fprodp1  11765  fprodabs  11781  pcfac  12519  gsumsplit1r  13041  gsumprval  13042  gsumfzconst  13471  gsumfzfsumlemm  14143  dvply2g  15002