Theorem 2rexuz 9999

Description: Double existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 3-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2rexuz	⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem 2rexuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz2 9998	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
2	1	exbii 1658	. 2 ⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
3		df-rex 2534	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitr4i 187	1 ⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380   ≤ cle 8368  ℤcz 9656  ℤ_≥cuz 9938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8508  df-z 9657  df-uz 9939

This theorem is used by: (None)