Theorem 2rexuz 9745

Description: Double existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 3-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2rexuz	⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem 2rexuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz2 9744	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
2	1	exbii 1631	. 2 ⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
3		df-rex 2494	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitr4i 187	1 ⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1518   ∈ wcel 2180  ∃wrex 2489   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294   ≤ cle 8150  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-ov 5977  df-neg 8288  df-z 9415  df-uz 9691

This theorem is referenced by: (None)