Theorem rexuz2 9913

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz2	|- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem rexuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9859	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) )
2		df-3an 1007	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) )
3	1, 2	bitri 184	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) )
4	3	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) )
5		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) )
6		anass 401	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
7		an12 563	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
9	5, 8	bitri 184	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
10	4, 9	bitri 184	. . 3 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
11	10	rexbii2 2553	. 2 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> E. n e. ZZ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) )
12		r19.42v 2700	. 2 |- ( E. n e. ZZ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )
13	11, 12	bitri 184	1 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   E.wrex 2521   class class class wbr 4109   ` cfv 5352   <_ cle 8309   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-neg 8447  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  2rexuz  9914