Theorem rexuz2 9640

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz2	|- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem rexuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9592	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) )
2		df-3an 982	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) )
3	1, 2	bitri 184	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) )
4	3	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) )
5		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) )
6		anass 401	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
7		an12 561	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
9	5, 8	bitri 184	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
10	4, 9	bitri 184	. . 3 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
11	10	rexbii2 2505	. 2 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> E. n e. ZZ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) )
12		r19.42v 2651	. 2 |- ( E. n e. ZZ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )
13	11, 12	bitri 184	1 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4029   ` cfv 5250   <_ cle 8049   ZZcz 9311   ZZ>=cuz 9586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-cnex 7957  ax-resscn 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4663  df-rel 4664  df-cnv 4665  df-co 4666  df-dm 4667  df-rn 4668  df-res 4669  df-ima 4670  df-iota 5211  df-fun 5252  df-fn 5253  df-f 5254  df-fv 5258  df-ov 5917  df-neg 8187  df-z 9312  df-uz 9587

This theorem is referenced by:  2rexuz  9641