Theorem rexuz2 9655

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz2	|- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem rexuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9607	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) )
2		df-3an 982	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) )
3	1, 2	bitri 184	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) )
4	3	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) )
5		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) <-> ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) )
6		anass 401	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
7		an12 561	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
9	5, 8	bitri 184	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ M <_ n ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
10	4, 9	bitri 184	. . 3 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
11	10	rexbii2 2508	. 2 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> E. n e. ZZ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) )
12		r19.42v 2654	. 2 |- ( E. n e. ZZ ( M e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )
13	11, 12	bitri 184	1 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ /\ E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   ` cfv 5258   <_ cle 8062   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  2rexuz  9656