ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  basgen Unicode version

Theorem basgen 12263
Description: Given a topology  J, show that a subset  B satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81 using abbreviations. (Contributed by NM, 22-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
basgen  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  J  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  J )

Proof of Theorem basgen
StepHypRef Expression
1 tgss 12246 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  J )
)
213adant3 1001 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  J  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 J ) )
3 tgtop 12251 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
433ad2ant1 1002 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  J  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  J )  =  J )
52, 4sseqtrd 3135 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  J  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  J
)
6 simp3 983 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  J  C_  ( topGen `  B )
)  ->  J  C_  ( topGen `
 B ) )
75, 6eqssd 3114 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  J  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    C_ wss 3071   ` cfv 5123   topGenctg 12149   Topctop 12178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12155  df-top 12179
This theorem is referenced by:  basgen2  12264
  Copyright terms: Public domain W3C validator