Theorem sseqtrd 3266

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sseqtrd.2	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseqtrd.2	. . 3 |- ( ph -> B = C )
3	2	sseq2d 3258	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A C_ C ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   C_ wss 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3207  df-ss 3214

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3267  fssdmd  5503  resasplitss  5524  nnaword2  6725  erssxp  6768  phpm  7095  nninfninc  7382  nnnninfeq  7387  ioodisj  10289  subsubm  13646  subsubg  13864  trivsubgd  13867  trivnsgd  13884  subsubrng  14309  subrgugrp  14335  subsubrg  14340  islssmd  14455  lspun  14498  lspssp  14499  lsslsp  14525  tgcl  14875  basgen  14891  bastop1  14894  bastop2  14895  clsss2  14940  topssnei  14973  cnntr  15036  txbasval  15078  neitx  15079  cnmpt1res  15107  cnmpt2res  15108  imasnopn  15110  hmeontr  15124  tgioo  15365  reldvg  15490  dvfvalap  15492  dvbss  15496  dvcnp2cntop  15510  dvaddxxbr  15512  dvmulxxbr  15513  dvcj  15520  vtxdumgrfival  16239