Theorem sseqtrd 3265

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sseqtrd.2	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseqtrd.2	. . 3 |- ( ph -> B = C )
3	2	sseq2d 3257	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A C_ C ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   C_ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3266  fssdmd  5496  resasplitss  5516  nnaword2  6682  erssxp  6725  phpm  7052  nninfninc  7322  nnnninfeq  7327  ioodisj  10228  subsubm  13584  subsubg  13802  trivsubgd  13805  trivnsgd  13822  subsubrng  14247  subrgugrp  14273  subsubrg  14278  islssmd  14392  lspun  14435  lspssp  14436  lsslsp  14462  tgcl  14807  basgen  14823  bastop1  14826  bastop2  14827  clsss2  14872  topssnei  14905  cnntr  14968  txbasval  15010  neitx  15011  cnmpt1res  15039  cnmpt2res  15040  imasnopn  15042  hmeontr  15056  tgioo  15297  reldvg  15422  dvfvalap  15424  dvbss  15428  dvcnp2cntop  15442  dvaddxxbr  15444  dvmulxxbr  15445  dvcj  15452  vtxdumgrfival  16168