Theorem sseqtrd 3286

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sseqtrd.2	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseqtrd.2	. . 3 |- ( ph -> B = C )
3	2	sseq2d 3278	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A C_ C ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> A C_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseqtrrd  3287  fssdmd  5548  resasplitss  5569  nnaword2  6787  erssxp  6830  phpm  7167  nninfninc  7463  nnnninfeq  7468  ioodisj  10405  subsubm  13839  subsubg  14049  trivsubgd  14052  trivnsgd  14069  subsubrng  14571  subrgugrp  14597  subsubrg  14602  islssmd  14745  lspun  14788  lspssp  14789  lsslsp  14815  tgcl  15214  basgen  15230  bastop1  15233  bastop2  15234  clsss2  15279  topssnei  15312  cnntr  15375  txbasval  15417  neitx  15418  cnmpt1res  15446  cnmpt2res  15447  imasnopn  15449  hmeontr  15463  tgioo  15704  reldvg  15829  dvfvalap  15831  dvbss  15835  dvcnp2cntop  15849  dvaddxxbr  15851  dvmulxxbr  15852  dvcj  15859  vtxdumgrfival  16637