Theorem sseqtrd 3231

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sseqtrd.2	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseqtrd.2	. . 3 |- ( ph -> B = C )
3	2	sseq2d 3223	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A C_ C ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   C_ wss 3166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-11 1529  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-in 3172  df-ss 3179

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3232  fssdmd  5439  resasplitss  5455  nnaword2  6600  erssxp  6643  phpm  6962  nninfninc  7225  nnnninfeq  7230  ioodisj  10115  subsubm  13315  subsubg  13533  trivsubgd  13536  trivnsgd  13553  subsubrng  13976  subrgugrp  14002  subsubrg  14007  islssmd  14121  lspun  14164  lspssp  14165  lsslsp  14191  tgcl  14536  basgen  14552  bastop1  14555  bastop2  14556  clsss2  14601  topssnei  14634  cnntr  14697  txbasval  14739  neitx  14740  cnmpt1res  14768  cnmpt2res  14769  imasnopn  14771  hmeontr  14785  tgioo  15026  reldvg  15151  dvfvalap  15153  dvbss  15157  dvcnp2cntop  15171  dvaddxxbr  15173  dvmulxxbr  15174  dvcj  15181