Theorem sseqtrd 3194

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sseqtrd.2	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseqtrd.2	. . 3 |- ( ph -> B = C )
3	2	sseq2d 3186	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A C_ C ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   C_ wss 3130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-in 3136  df-ss 3143

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3195  fssdmd  5380  resasplitss  5396  nnaword2  6515  erssxp  6558  phpm  6865  nnnninfeq  7126  ioodisj  9993  subsubg  13057  trivsubgd  13060  trivnsgd  13077  subrgugrp  13361  subsubrg  13366  tgcl  13567  basgen  13583  bastop1  13586  bastop2  13587  clsss2  13632  topssnei  13665  cnntr  13728  txbasval  13770  neitx  13771  cnmpt1res  13799  cnmpt2res  13800  imasnopn  13802  hmeontr  13816  tgioo  14049  reldvg  14151  dvfvalap  14153  dvbss  14157  dvcnp2cntop  14166  dvaddxxbr  14168  dvmulxxbr  14169  dvcj  14176