Theorem sseqtrd 3140

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sseqtrd.2	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseqtrd.2	. . 3 |- ( ph -> B = C )
3	2	sseq2d 3132	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A C_ C ) )
4	1, 3	mpbid 146	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   C_ wss 3076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-11 1485  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-in 3082  df-ss 3089

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3141  fssdmd  5294  resasplitss  5310  nnaword2  6418  erssxp  6460  phpm  6767  ioodisj  9806  tgcl  12272  basgen  12288  bastop1  12291  bastop2  12292  clsss2  12337  topssnei  12370  cnntr  12433  txbasval  12475  neitx  12476  cnmpt1res  12504  cnmpt2res  12505  imasnopn  12507  hmeontr  12521  tgioo  12754  reldvg  12856  dvfvalap  12858  dvbss  12862  dvcnp2cntop  12871  dvaddxxbr  12873  dvmulxxbr  12874  dvcj  12881  nninfalllemn  13377