Theorem sseqtrd 3239

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sseqtrd.2	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseqtrd.2	. . 3 |- ( ph -> B = C )
3	2	sseq2d 3231	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A C_ C ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   C_ wss 3174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-in 3180  df-ss 3187

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3240  fssdmd  5459  resasplitss  5477  nnaword2  6623  erssxp  6666  phpm  6988  nninfninc  7251  nnnninfeq  7256  ioodisj  10150  subsubm  13430  subsubg  13648  trivsubgd  13651  trivnsgd  13668  subsubrng  14091  subrgugrp  14117  subsubrg  14122  islssmd  14236  lspun  14279  lspssp  14280  lsslsp  14306  tgcl  14651  basgen  14667  bastop1  14670  bastop2  14671  clsss2  14716  topssnei  14749  cnntr  14812  txbasval  14854  neitx  14855  cnmpt1res  14883  cnmpt2res  14884  imasnopn  14886  hmeontr  14900  tgioo  15141  reldvg  15266  dvfvalap  15268  dvbss  15272  dvcnp2cntop  15286  dvaddxxbr  15288  dvmulxxbr  15289  dvcj  15296