Theorem sseqtrd 3221

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	|- ( ph -> A C_ B )
sseqtrd.2	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseqtrd.2	. . 3 |- ( ph -> B = C )
3	2	sseq2d 3213	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A C_ C ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   C_ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3222  fssdmd  5421  resasplitss  5437  nnaword2  6572  erssxp  6615  phpm  6926  nninfninc  7189  nnnninfeq  7194  ioodisj  10068  subsubm  13115  subsubg  13327  trivsubgd  13330  trivnsgd  13347  subsubrng  13770  subrgugrp  13796  subsubrg  13801  islssmd  13915  lspun  13958  lspssp  13959  lsslsp  13985  tgcl  14300  basgen  14316  bastop1  14319  bastop2  14320  clsss2  14365  topssnei  14398  cnntr  14461  txbasval  14503  neitx  14504  cnmpt1res  14532  cnmpt2res  14533  imasnopn  14535  hmeontr  14549  tgioo  14790  reldvg  14915  dvfvalap  14917  dvbss  14921  dvcnp2cntop  14935  dvaddxxbr  14937  dvmulxxbr  14938  dvcj  14945