Theorem tgss 13434

Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
tgss	|- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )

Proof of Theorem tgss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 3360	. . . . . 6 |- ( B C_ C -> ( B i^i ~P x ) C_ ( C i^i ~P x ) )
2	1	unissd 3833	. . . . 5 |- ( B C_ C -> U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) )
3		sstr2 3162	. . . . 5 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> ( U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
4	2, 3	syl5com 29	. . . 4 |- ( B C_ C -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
6		ssexg 4141	. . . . 5 |- ( ( B C_ C /\ C e. V ) -> B e. _V )
7	6	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> B e. _V )
8		eltg 13423	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
10		eltg 13423	. . . 4 |- ( C e. V -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
12	5, 9, 11	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) -> x e. ( topGen ` C ) ) )
13	12	ssrdv 3161	1 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   i^i cin 3128   C_ wss 3129   ~Pcpw 3575   U.cuni 3809   ` cfv 5215   topGenctg 12691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-topgen 12697

This theorem is referenced by:  tgidm  13445  tgss3  13449  basgen  13451  2basgeng  13453  bastop1  13454  txss12  13637