Theorem tgss 12942

Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
tgss	|- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )

Proof of Theorem tgss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 3353	. . . . . 6 |- ( B C_ C -> ( B i^i ~P x ) C_ ( C i^i ~P x ) )
2	1	unissd 3821	. . . . 5 |- ( B C_ C -> U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) )
3		sstr2 3155	. . . . 5 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> ( U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
4	2, 3	syl5com 29	. . . 4 |- ( B C_ C -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
6		ssexg 4129	. . . . 5 |- ( ( B C_ C /\ C e. V ) -> B e. _V )
7	6	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> B e. _V )
8		eltg 12931	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
10		eltg 12931	. . . 4 |- ( C e. V -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
11	10	adantr 274	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
12	5, 9, 11	3imtr4d 202	. 2 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) -> x e. ( topGen ` C ) ) )
13	12	ssrdv 3154	1 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2142   _Vcvv 2731   i^i cin 3121   C_ wss 3122   ~Pcpw 3567   U.cuni 3797   ` cfv 5200   topGenctg 12598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ral 2454  df-rex 2455  df-v 2733  df-sbc 2957  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fv 5208  df-topgen 12604

This theorem is referenced by:  tgidm  12953  tgss3  12957  basgen  12959  2basgeng  12961  bastop1  12962  txss12  13145