ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgss Unicode version

Theorem tgss 12262
Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)

Proof of Theorem tgss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 3302 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  C  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  ( C  i^i  ~P x ) )
21unissd 3764 . . . . 5  |-  ( B 
C_  C  ->  U. ( B  i^i  ~P x ) 
C_  U. ( C  i^i  ~P x ) )
3 sstr2 3105 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x )  C_  U. ( C  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
42, 3syl5com 29 . . . 4  |-  ( B 
C_  C  ->  (
x  C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
54adantl 275 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
6 ssexg 4071 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  e.  V )  ->  B  e.  _V )
76ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  ->  B  e.  _V )
8 eltg 12251 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
10 eltg 12251 . . . 4  |-  ( C  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  C )  <->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
1110adantr 274 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  C )  <->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
125, 9, 113imtr4d 202 . 2  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  ->  x  e.  ( topGen `  C ) ) )
1312ssrdv 3104 1  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1481   _Vcvv 2687    i^i cin 3071    C_ wss 3072   ~Pcpw 3511   U.cuni 3740   ` cfv 5127   topGenctg 12165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-sbc 2911  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-topgen 12171
This theorem is referenced by:  tgidm  12273  tgss3  12277  basgen  12279  2basgeng  12281  bastop1  12282  txss12  12465
  Copyright terms: Public domain W3C validator