Theorem tgss 12604

Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
tgss	|- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )

Proof of Theorem tgss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 3342	. . . . . 6 |- ( B C_ C -> ( B i^i ~P x ) C_ ( C i^i ~P x ) )
2	1	unissd 3807	. . . . 5 |- ( B C_ C -> U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) )
3		sstr2 3144	. . . . 5 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> ( U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
4	2, 3	syl5com 29	. . . 4 |- ( B C_ C -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
6		ssexg 4115	. . . . 5 |- ( ( B C_ C /\ C e. V ) -> B e. _V )
7	6	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> B e. _V )
8		eltg 12593	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
10		eltg 12593	. . . 4 |- ( C e. V -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
11	10	adantr 274	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
12	5, 9, 11	3imtr4d 202	. 2 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) -> x e. ( topGen ` C ) ) )
13	12	ssrdv 3143	1 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   i^i cin 3110   C_ wss 3111   ~Pcpw 3553   U.cuni 3783   ` cfv 5182   topGenctg 12507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-topgen 12513

This theorem is referenced by:  tgidm  12615  tgss3  12619  basgen  12621  2basgeng  12623  bastop1  12624  txss12  12807