Theorem tgss 15164

Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
tgss	|- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )

Proof of Theorem tgss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 3456	. . . . . 6 |- ( B C_ C -> ( B i^i ~P x ) C_ ( C i^i ~P x ) )
2	1	unissd 3959	. . . . 5 |- ( B C_ C -> U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) )
3		sstr2 3255	. . . . 5 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> ( U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
4	2, 3	syl5com 29	. . . 4 |- ( B C_ C -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
6		ssexg 4272	. . . . 5 |- ( ( B C_ C /\ C e. V ) -> B e. _V )
7	6	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> B e. _V )
8		eltg 15153	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
10		eltg 15153	. . . 4 |- ( C e. V -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
12	5, 9, 11	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) -> x e. ( topGen ` C ) ) )
13	12	ssrdv 3254	1 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   U.cuni 3935   ` cfv 5377   topGenctg 13608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-topgen 13614

This theorem is used by:  tgidm  15175  tgss3  15179  basgen  15181  2basgeng  15183  bastop1  15184  txss12  15367