Theorem tgss 12703

Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
tgss	|- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )

Proof of Theorem tgss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 3347	. . . . . 6 |- ( B C_ C -> ( B i^i ~P x ) C_ ( C i^i ~P x ) )
2	1	unissd 3813	. . . . 5 |- ( B C_ C -> U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) )
3		sstr2 3149	. . . . 5 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> ( U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
4	2, 3	syl5com 29	. . . 4 |- ( B C_ C -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
6		ssexg 4121	. . . . 5 |- ( ( B C_ C /\ C e. V ) -> B e. _V )
7	6	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> B e. _V )
8		eltg 12692	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
10		eltg 12692	. . . 4 |- ( C e. V -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
11	10	adantr 274	. . 3 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) )
12	5, 9, 11	3imtr4d 202	. 2 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) -> x e. ( topGen ` C ) ) )
13	12	ssrdv 3148	1 |- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559   U.cuni 3789   ` cfv 5188   topGenctg 12571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577

This theorem is referenced by:  tgidm  12714  tgss3  12718  basgen  12720  2basgeng  12722  bastop1  12723  txss12  12906