Theorem basgen 14259

Description: Given a topology 𝐽, show that a subset 𝐵 satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81 using abbreviations. (Contributed by NM, 22-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
basgen	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)

Proof of Theorem basgen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgss 14242	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐽))
2	1	3adant3 1019	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐽))
3		tgtop 14247	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
4	3	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
5	2, 4	sseqtrd 3218	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ 𝐽)
6		simp3 1001	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵))
7	5, 6	eqssd 3197	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3154  ‘cfv 5255  topGenctg 12868  Topctop 14176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 12874  df-top 14177

This theorem is referenced by:  basgen2  14260