Theorem basgen2 12622

Description: Given a topology J, show that a subset B satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
basgen2	|- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( topGen ` B ) = J )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, J, y, z

Proof of Theorem basgen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3127	. . . 4 |- ( J C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. J x e. ( topGen ` B ) )
2		ssexg 4115	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ J /\ J e. Top ) -> B e. _V )
3	2	ancoms 266	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> B e. _V )
4		eltg2b 12595	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
6	5	ralbidv 2464	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( A. x e. J x e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
7	1, 6	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( J C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
8	7	biimp3ar 1335	. 2 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> J C_ ( topGen ` B ) )
9		basgen 12621	. 2 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ J C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = J )
10	8, 9	syld3an3 1272	1 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( topGen ` B ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   _Vcvv 2721   C_ wss 3111   ` cfv 5182   topGenctg 12507   Topctop 12536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-topgen 12513  df-top 12537

This theorem is referenced by: (None)