Theorem basgen2 15105

Description: Given a topology J, show that a subset B satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
basgen2	|- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( topGen ` B ) = J )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, J, y, z

Proof of Theorem basgen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3236	. . . 4 |- ( J C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. J x e. ( topGen ` B ) )
2		ssexg 4267	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ J /\ J e. Top ) -> B e. _V )
3	2	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> B e. _V )
4		eltg2b 15078	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
6	5	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( A. x e. J x e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
7	1, 6	bitrid 192	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( J C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
8	7	biimp3ar 1387	. 2 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> J C_ ( topGen ` B ) )
9		basgen 15104	. 2 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ J C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = J )
10	8, 9	syld3an3 1323	1 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( topGen ` B ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ` cfv 5372   topGenctg 13585   Topctop 15021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-topgen 13591  df-top 15022

This theorem is referenced by: (None)