ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  basgen2 Unicode version

Theorem basgen2 12032
Description: Given a topology  J, show that a subset  B satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
basgen2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  ( topGen `  B
)  =  J )
Distinct variable groups:    x, y, z, B    x, J, y, z

Proof of Theorem basgen2
StepHypRef Expression
1 dfss3 3037 . . . 4  |-  ( J 
C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  J  x  e.  ( topGen `  B ) )
2 ssexg 4007 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  J  /\  J  e.  Top )  ->  B  e.  _V )
32ancoms 266 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  ->  B  e.  _V )
4 eltg2b 12005 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
53, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
65ralbidv 2396 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( A. x  e.  J  x  e.  (
topGen `  B )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
71, 6syl5bb 191 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( J  C_  ( topGen `
 B )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
87biimp3ar 1292 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  J  C_  ( topGen `
 B ) )
9 basgen 12031 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  J  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  J )
108, 9syld3an3 1229 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  ( topGen `  B
)  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641    C_ wss 3021   ` cfv 5059   topGenctg 11917   Topctop 11946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-topgen 11923  df-top 11947
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator