Theorem basgen2 13132

Description: Given a topology J, show that a subset B satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
basgen2	|- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( topGen ` B ) = J )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, J, y, z

Proof of Theorem basgen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3143	. . . 4 |- ( J C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. J x e. ( topGen ` B ) )
2		ssexg 4137	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ J /\ J e. Top ) -> B e. _V )
3	2	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> B e. _V )
4		eltg2b 13105	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
6	5	ralbidv 2475	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( A. x e. J x e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
7	1, 6	bitrid 192	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( J C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
8	7	biimp3ar 1346	. 2 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> J C_ ( topGen ` B ) )
9		basgen 13131	. 2 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ J C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = J )
10	8, 9	syld3an3 1283	1 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( topGen ` B ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   _Vcvv 2735   C_ wss 3127   ` cfv 5208   topGenctg 12623   Topctop 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-topgen 12629  df-top 13047

This theorem is referenced by: (None)