Theorem basgen2 14471

Description: Given a topology J, show that a subset B satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
basgen2	|- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( topGen ` B ) = J )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, J, y, z

Proof of Theorem basgen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3181	. . . 4 |- ( J C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. J x e. ( topGen ` B ) )
2		ssexg 4182	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ J /\ J e. Top ) -> B e. _V )
3	2	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> B e. _V )
4		eltg2b 14444	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
6	5	ralbidv 2505	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( A. x e. J x e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
7	1, 6	bitrid 192	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( J C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
8	7	biimp3ar 1358	. 2 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> J C_ ( topGen ` B ) )
9		basgen 14470	. 2 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ J C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = J )
10	8, 9	syld3an3 1294	1 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) -> ( topGen ` B ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   _Vcvv 2771   C_ wss 3165   ` cfv 5268   topGenctg 13004   Topctop 14387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-topgen 13010  df-top 14388

This theorem is referenced by: (None)