Theorem bdop 15605

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	|- BOUNDED <. x , y >.

Proof of Theorem bdop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 15604	. . . 4 |- BOUNDED z = { x }
2		bdcpr 15601	. . . . . . 7 |- BOUNDED { x , y }
3	2	bdss 15594	. . . . . 6 |- BOUNDED z C_ { x , y }
4		ax-bdel 15551	. . . . . . . 8 |- BOUNDED x e. z
5		ax-bdel 15551	. . . . . . . 8 |- BOUNDED y e. z
6	4, 5	ax-bdan 15545	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( x e. z /\ y e. z )
7		vex 2766	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
8	7	prid1 3729	. . . . . . . . . 10 |- x e. { x , y }
9		ssel 3178	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. { x , y } -> x e. z ) )
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> x e. z )
11		vex 2766	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
12	11	prid2 3730	. . . . . . . . . 10 |- y e. { x , y }
13		ssel 3178	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( y e. { x , y } -> y e. z ) )
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> y e. z )
15	10, 14	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. z /\ y e. z ) )
16		prssi 3781	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z /\ y e. z ) -> { x , y } C_ z )
17	15, 16	impbii 126	. . . . . . 7 |- ( { x , y } C_ z <-> ( x e. z /\ y e. z ) )
18	6, 17	bd0r 15555	. . . . . 6 |- BOUNDED { x , y } C_ z
19	3, 18	ax-bdan 15545	. . . . 5 |- BOUNDED ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z )
20		eqss 3199	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z ) )
21	19, 20	bd0r 15555	. . . 4 |- BOUNDED z = { x , y }
22	1, 21	ax-bdor 15546	. . 3 |- BOUNDED ( z = { x } \/ z = { x , y } )
23		vex 2766	. . . 4 |- z e. _V
24	23, 7, 11	elop 4265	. . 3 |- ( z e. <. x , y >. <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
25	22, 24	bd0r 15555	. 2 |- BOUNDED z e. <. x , y >.
26	25	bdelir 15577	1 |- BOUNDED <. x , y >.

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   {csn 3623   {cpr 3624   <.cop 3626  BOUNDED wbdc 15570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-bd0 15543  ax-bdan 15545  ax-bdor 15546  ax-bdal 15548  ax-bdeq 15550  ax-bdel 15551  ax-bdsb 15552

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-bdc 15571

This theorem is referenced by: (None)