Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdop Unicode version

Theorem bdop 12884
Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
bdop  |- BOUNDED 
<. x ,  y >.

Proof of Theorem bdop
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdvsn 12883 . . . 4  |- BOUNDED  z  =  {
x }
2 bdcpr 12880 . . . . . . 7  |- BOUNDED  { x ,  y }
32bdss 12873 . . . . . 6  |- BOUNDED  z  C_  { x ,  y }
4 ax-bdel 12830 . . . . . . . 8  |- BOUNDED  x  e.  z
5 ax-bdel 12830 . . . . . . . 8  |- BOUNDED  y  e.  z
64, 5ax-bdan 12824 . . . . . . 7  |- BOUNDED  ( x  e.  z  /\  y  e.  z )
7 vex 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
87prid1 3597 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
{ x ,  y }
9 ssel 3059 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
x  e.  { x ,  y }  ->  x  e.  z ) )
108, 9mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  x  e.  z )
11 vex 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1211prid2 3598 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ x ,  y }
13 ssel 3059 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
y  e.  { x ,  y }  ->  y  e.  z ) )
1412, 13mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  y  e.  z )
1510, 14jca 302 . . . . . . . 8  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
x  e.  z  /\  y  e.  z )
)
16 prssi 3646 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  z  /\  y  e.  z )  ->  { x ,  y }  C_  z )
1715, 16impbii 125 . . . . . . 7  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  <->  ( x  e.  z  /\  y  e.  z ) )
186, 17bd0r 12834 . . . . . 6  |- BOUNDED  { x ,  y }  C_  z
193, 18ax-bdan 12824 . . . . 5  |- BOUNDED  ( z  C_  { x ,  y }  /\  { x ,  y } 
C_  z )
20 eqss 3080 . . . . 5  |-  ( z  =  { x ,  y }  <->  ( z  C_ 
{ x ,  y }  /\  { x ,  y }  C_  z ) )
2119, 20bd0r 12834 . . . 4  |- BOUNDED  z  =  {
x ,  y }
221, 21ax-bdor 12825 . . 3  |- BOUNDED  ( z  =  {
x }  \/  z  =  { x ,  y } )
23 vex 2661 . . . 4  |-  z  e. 
_V
2423, 7, 11elop 4121 . . 3  |-  ( z  e.  <. x ,  y
>. 
<->  ( z  =  {
x }  \/  z  =  { x ,  y } ) )
2522, 24bd0r 12834 . 2  |- BOUNDED  z  e.  <. x ,  y >.
2625bdelir 12856 1  |- BOUNDED 
<. x ,  y >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463    C_ wss 3039   {csn 3495   {cpr 3496   <.cop 3498  BOUNDED wbdc 12849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-bd0 12822  ax-bdan 12824  ax-bdor 12825  ax-bdal 12827  ax-bdeq 12829  ax-bdel 12830  ax-bdsb 12831
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-bdc 12850
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator