Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdop Unicode version

Theorem bdop 14597
Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
bdop  |- BOUNDED 
<. x ,  y >.

Proof of Theorem bdop
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdvsn 14596 . . . 4  |- BOUNDED  z  =  {
x }
2 bdcpr 14593 . . . . . . 7  |- BOUNDED  { x ,  y }
32bdss 14586 . . . . . 6  |- BOUNDED  z  C_  { x ,  y }
4 ax-bdel 14543 . . . . . . . 8  |- BOUNDED  x  e.  z
5 ax-bdel 14543 . . . . . . . 8  |- BOUNDED  y  e.  z
64, 5ax-bdan 14537 . . . . . . 7  |- BOUNDED  ( x  e.  z  /\  y  e.  z )
7 vex 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
87prid1 3698 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
{ x ,  y }
9 ssel 3149 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
x  e.  { x ,  y }  ->  x  e.  z ) )
108, 9mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  x  e.  z )
11 vex 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1211prid2 3699 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ x ,  y }
13 ssel 3149 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
y  e.  { x ,  y }  ->  y  e.  z ) )
1412, 13mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  y  e.  z )
1510, 14jca 306 . . . . . . . 8  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
x  e.  z  /\  y  e.  z )
)
16 prssi 3750 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  z  /\  y  e.  z )  ->  { x ,  y }  C_  z )
1715, 16impbii 126 . . . . . . 7  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  <->  ( x  e.  z  /\  y  e.  z ) )
186, 17bd0r 14547 . . . . . 6  |- BOUNDED  { x ,  y }  C_  z
193, 18ax-bdan 14537 . . . . 5  |- BOUNDED  ( z  C_  { x ,  y }  /\  { x ,  y } 
C_  z )
20 eqss 3170 . . . . 5  |-  ( z  =  { x ,  y }  <->  ( z  C_ 
{ x ,  y }  /\  { x ,  y }  C_  z ) )
2119, 20bd0r 14547 . . . 4  |- BOUNDED  z  =  {
x ,  y }
221, 21ax-bdor 14538 . . 3  |- BOUNDED  ( z  =  {
x }  \/  z  =  { x ,  y } )
23 vex 2740 . . . 4  |-  z  e. 
_V
2423, 7, 11elop 4231 . . 3  |-  ( z  e.  <. x ,  y
>. 
<->  ( z  =  {
x }  \/  z  =  { x ,  y } ) )
2522, 24bd0r 14547 . 2  |- BOUNDED  z  e.  <. x ,  y >.
2625bdelir 14569 1  |- BOUNDED 
<. x ,  y >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3129   {csn 3592   {cpr 3593   <.cop 3595  BOUNDED wbdc 14562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-bd0 14535  ax-bdan 14537  ax-bdor 14538  ax-bdal 14540  ax-bdeq 14542  ax-bdel 14543  ax-bdsb 14544
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-bdc 14563
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator