Theorem bdop 16771

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	|- BOUNDED <. x , y >.

Proof of Theorem bdop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 16770	. . . 4 |- BOUNDED z = { x }
2		bdcpr 16767	. . . . . . 7 |- BOUNDED { x , y }
3	2	bdss 16760	. . . . . 6 |- BOUNDED z C_ { x , y }
4		ax-bdel 16717	. . . . . . . 8 |- BOUNDED x e. z
5		ax-bdel 16717	. . . . . . . 8 |- BOUNDED y e. z
6	4, 5	ax-bdan 16711	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( x e. z /\ y e. z )
7		vex 2818	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
8	7	prid1 3802	. . . . . . . . . 10 |- x e. { x , y }
9		ssel 3236	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. { x , y } -> x e. z ) )
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> x e. z )
11		vex 2818	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
12	11	prid2 3803	. . . . . . . . . 10 |- y e. { x , y }
13		ssel 3236	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( y e. { x , y } -> y e. z ) )
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> y e. z )
15	10, 14	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. z /\ y e. z ) )
16		prssi 3857	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z /\ y e. z ) -> { x , y } C_ z )
17	15, 16	impbii 126	. . . . . . 7 |- ( { x , y } C_ z <-> ( x e. z /\ y e. z ) )
18	6, 17	bd0r 16721	. . . . . 6 |- BOUNDED { x , y } C_ z
19	3, 18	ax-bdan 16711	. . . . 5 |- BOUNDED ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z )
20		eqss 3257	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z ) )
21	19, 20	bd0r 16721	. . . 4 |- BOUNDED z = { x , y }
22	1, 21	ax-bdor 16712	. . 3 |- BOUNDED ( z = { x } \/ z = { x , y } )
23		vex 2818	. . . 4 |- z e. _V
24	23, 7, 11	elop 4352	. . 3 |- ( z e. <. x , y >. <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
25	22, 24	bd0r 16721	. 2 |- BOUNDED z e. <. x , y >.
26	25	bdelir 16743	1 |- BOUNDED <. x , y >.

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   {csn 3694   {cpr 3695   <.cop 3697  BOUNDED wbdc 16736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-bd0 16709  ax-bdan 16711  ax-bdor 16712  ax-bdal 16714  ax-bdeq 16716  ax-bdel 16717  ax-bdsb 16718

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-bdc 16737

This theorem is referenced by: (None)