Theorem bdop 13910

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	|- BOUNDED <. x , y >.

Proof of Theorem bdop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 13909	. . . 4 |- BOUNDED z = { x }
2		bdcpr 13906	. . . . . . 7 |- BOUNDED { x , y }
3	2	bdss 13899	. . . . . 6 |- BOUNDED z C_ { x , y }
4		ax-bdel 13856	. . . . . . . 8 |- BOUNDED x e. z
5		ax-bdel 13856	. . . . . . . 8 |- BOUNDED y e. z
6	4, 5	ax-bdan 13850	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( x e. z /\ y e. z )
7		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
8	7	prid1 3689	. . . . . . . . . 10 |- x e. { x , y }
9		ssel 3141	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. { x , y } -> x e. z ) )
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> x e. z )
11		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
12	11	prid2 3690	. . . . . . . . . 10 |- y e. { x , y }
13		ssel 3141	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( y e. { x , y } -> y e. z ) )
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> y e. z )
15	10, 14	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. z /\ y e. z ) )
16		prssi 3738	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z /\ y e. z ) -> { x , y } C_ z )
17	15, 16	impbii 125	. . . . . . 7 |- ( { x , y } C_ z <-> ( x e. z /\ y e. z ) )
18	6, 17	bd0r 13860	. . . . . 6 |- BOUNDED { x , y } C_ z
19	3, 18	ax-bdan 13850	. . . . 5 |- BOUNDED ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z )
20		eqss 3162	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z ) )
21	19, 20	bd0r 13860	. . . 4 |- BOUNDED z = { x , y }
22	1, 21	ax-bdor 13851	. . 3 |- BOUNDED ( z = { x } \/ z = { x , y } )
23		vex 2733	. . . 4 |- z e. _V
24	23, 7, 11	elop 4216	. . 3 |- ( z e. <. x , y >. <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
25	22, 24	bd0r 13860	. 2 |- BOUNDED z e. <. x , y >.
26	25	bdelir 13882	1 |- BOUNDED <. x , y >.

Syntax hints:   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   C_ wss 3121   {csn 3583   {cpr 3584   <.cop 3586  BOUNDED wbdc 13875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-bd0 13848  ax-bdan 13850  ax-bdor 13851  ax-bdal 13853  ax-bdeq 13855  ax-bdel 13856  ax-bdsb 13857

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-bdc 13876

This theorem is referenced by: (None)