Theorem bdop 15367

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	|- BOUNDED <. x , y >.

Proof of Theorem bdop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 15366	. . . 4 |- BOUNDED z = { x }
2		bdcpr 15363	. . . . . . 7 |- BOUNDED { x , y }
3	2	bdss 15356	. . . . . 6 |- BOUNDED z C_ { x , y }
4		ax-bdel 15313	. . . . . . . 8 |- BOUNDED x e. z
5		ax-bdel 15313	. . . . . . . 8 |- BOUNDED y e. z
6	4, 5	ax-bdan 15307	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( x e. z /\ y e. z )
7		vex 2763	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
8	7	prid1 3724	. . . . . . . . . 10 |- x e. { x , y }
9		ssel 3173	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. { x , y } -> x e. z ) )
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> x e. z )
11		vex 2763	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
12	11	prid2 3725	. . . . . . . . . 10 |- y e. { x , y }
13		ssel 3173	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( y e. { x , y } -> y e. z ) )
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> y e. z )
15	10, 14	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. z /\ y e. z ) )
16		prssi 3776	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z /\ y e. z ) -> { x , y } C_ z )
17	15, 16	impbii 126	. . . . . . 7 |- ( { x , y } C_ z <-> ( x e. z /\ y e. z ) )
18	6, 17	bd0r 15317	. . . . . 6 |- BOUNDED { x , y } C_ z
19	3, 18	ax-bdan 15307	. . . . 5 |- BOUNDED ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z )
20		eqss 3194	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z ) )
21	19, 20	bd0r 15317	. . . 4 |- BOUNDED z = { x , y }
22	1, 21	ax-bdor 15308	. . 3 |- BOUNDED ( z = { x } \/ z = { x , y } )
23		vex 2763	. . . 4 |- z e. _V
24	23, 7, 11	elop 4260	. . 3 |- ( z e. <. x , y >. <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
25	22, 24	bd0r 15317	. 2 |- BOUNDED z e. <. x , y >.
26	25	bdelir 15339	1 |- BOUNDED <. x , y >.

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3153   {csn 3618   {cpr 3619   <.cop 3621  BOUNDED wbdc 15332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-bd0 15305  ax-bdan 15307  ax-bdor 15308  ax-bdal 15310  ax-bdeq 15312  ax-bdel 15313  ax-bdsb 15314

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-bdc 15333

This theorem is referenced by: (None)