Theorem bdop 13757

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	|- BOUNDED <. x , y >.

Proof of Theorem bdop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 13756	. . . 4 |- BOUNDED z = { x }
2		bdcpr 13753	. . . . . . 7 |- BOUNDED { x , y }
3	2	bdss 13746	. . . . . 6 |- BOUNDED z C_ { x , y }
4		ax-bdel 13703	. . . . . . . 8 |- BOUNDED x e. z
5		ax-bdel 13703	. . . . . . . 8 |- BOUNDED y e. z
6	4, 5	ax-bdan 13697	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( x e. z /\ y e. z )
7		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
8	7	prid1 3682	. . . . . . . . . 10 |- x e. { x , y }
9		ssel 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. { x , y } -> x e. z ) )
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> x e. z )
11		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
12	11	prid2 3683	. . . . . . . . . 10 |- y e. { x , y }
13		ssel 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( y e. { x , y } -> y e. z ) )
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> y e. z )
15	10, 14	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. z /\ y e. z ) )
16		prssi 3731	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z /\ y e. z ) -> { x , y } C_ z )
17	15, 16	impbii 125	. . . . . . 7 |- ( { x , y } C_ z <-> ( x e. z /\ y e. z ) )
18	6, 17	bd0r 13707	. . . . . 6 |- BOUNDED { x , y } C_ z
19	3, 18	ax-bdan 13697	. . . . 5 |- BOUNDED ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z )
20		eqss 3157	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z ) )
21	19, 20	bd0r 13707	. . . 4 |- BOUNDED z = { x , y }
22	1, 21	ax-bdor 13698	. . 3 |- BOUNDED ( z = { x } \/ z = { x , y } )
23		vex 2729	. . . 4 |- z e. _V
24	23, 7, 11	elop 4209	. . 3 |- ( z e. <. x , y >. <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
25	22, 24	bd0r 13707	. 2 |- BOUNDED z e. <. x , y >.
26	25	bdelir 13729	1 |- BOUNDED <. x , y >.

Syntax hints:   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   {csn 3576   {cpr 3577   <.cop 3579  BOUNDED wbdc 13722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-bd0 13695  ax-bdan 13697  ax-bdor 13698  ax-bdal 13700  ax-bdeq 13702  ax-bdel 13703  ax-bdsb 13704

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-bdc 13723

This theorem is referenced by: (None)