Theorem bdop 16010

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	|- BOUNDED <. x , y >.

Proof of Theorem bdop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 16009	. . . 4 |- BOUNDED z = { x }
2		bdcpr 16006	. . . . . . 7 |- BOUNDED { x , y }
3	2	bdss 15999	. . . . . 6 |- BOUNDED z C_ { x , y }
4		ax-bdel 15956	. . . . . . . 8 |- BOUNDED x e. z
5		ax-bdel 15956	. . . . . . . 8 |- BOUNDED y e. z
6	4, 5	ax-bdan 15950	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( x e. z /\ y e. z )
7		vex 2779	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
8	7	prid1 3749	. . . . . . . . . 10 |- x e. { x , y }
9		ssel 3195	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. { x , y } -> x e. z ) )
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> x e. z )
11		vex 2779	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
12	11	prid2 3750	. . . . . . . . . 10 |- y e. { x , y }
13		ssel 3195	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( y e. { x , y } -> y e. z ) )
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> y e. z )
15	10, 14	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. z /\ y e. z ) )
16		prssi 3802	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z /\ y e. z ) -> { x , y } C_ z )
17	15, 16	impbii 126	. . . . . . 7 |- ( { x , y } C_ z <-> ( x e. z /\ y e. z ) )
18	6, 17	bd0r 15960	. . . . . 6 |- BOUNDED { x , y } C_ z
19	3, 18	ax-bdan 15950	. . . . 5 |- BOUNDED ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z )
20		eqss 3216	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z ) )
21	19, 20	bd0r 15960	. . . 4 |- BOUNDED z = { x , y }
22	1, 21	ax-bdor 15951	. . 3 |- BOUNDED ( z = { x } \/ z = { x , y } )
23		vex 2779	. . . 4 |- z e. _V
24	23, 7, 11	elop 4293	. . 3 |- ( z e. <. x , y >. <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
25	22, 24	bd0r 15960	. 2 |- BOUNDED z e. <. x , y >.
26	25	bdelir 15982	1 |- BOUNDED <. x , y >.

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3174   {csn 3643   {cpr 3644   <.cop 3646  BOUNDED wbdc 15975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-bd0 15948  ax-bdan 15950  ax-bdor 15951  ax-bdal 15953  ax-bdeq 15955  ax-bdel 15956  ax-bdsb 15957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-bdc 15976

This theorem is referenced by: (None)