Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdop Unicode version

Theorem bdop 11412
Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
bdop  |- BOUNDED 
<. x ,  y >.

Proof of Theorem bdop
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdvsn 11411 . . . 4  |- BOUNDED  z  =  {
x }
2 bdcpr 11408 . . . . . . 7  |- BOUNDED  { x ,  y }
32bdss 11401 . . . . . 6  |- BOUNDED  z  C_  { x ,  y }
4 ax-bdel 11358 . . . . . . . 8  |- BOUNDED  x  e.  z
5 ax-bdel 11358 . . . . . . . 8  |- BOUNDED  y  e.  z
64, 5ax-bdan 11352 . . . . . . 7  |- BOUNDED  ( x  e.  z  /\  y  e.  z )
7 vex 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
87prid1 3543 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
{ x ,  y }
9 ssel 3017 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
x  e.  { x ,  y }  ->  x  e.  z ) )
108, 9mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  x  e.  z )
11 vex 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1211prid2 3544 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ x ,  y }
13 ssel 3017 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
y  e.  { x ,  y }  ->  y  e.  z ) )
1412, 13mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  y  e.  z )
1510, 14jca 300 . . . . . . . 8  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
x  e.  z  /\  y  e.  z )
)
16 prssi 3590 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  z  /\  y  e.  z )  ->  { x ,  y }  C_  z )
1715, 16impbii 124 . . . . . . 7  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  <->  ( x  e.  z  /\  y  e.  z ) )
186, 17bd0r 11362 . . . . . 6  |- BOUNDED  { x ,  y }  C_  z
193, 18ax-bdan 11352 . . . . 5  |- BOUNDED  ( z  C_  { x ,  y }  /\  { x ,  y } 
C_  z )
20 eqss 3038 . . . . 5  |-  ( z  =  { x ,  y }  <->  ( z  C_ 
{ x ,  y }  /\  { x ,  y }  C_  z ) )
2119, 20bd0r 11362 . . . 4  |- BOUNDED  z  =  {
x ,  y }
221, 21ax-bdor 11353 . . 3  |- BOUNDED  ( z  =  {
x }  \/  z  =  { x ,  y } )
23 vex 2622 . . . 4  |-  z  e. 
_V
2423, 7, 11elop 4049 . . 3  |-  ( z  e.  <. x ,  y
>. 
<->  ( z  =  {
x }  \/  z  =  { x ,  y } ) )
2522, 24bd0r 11362 . 2  |- BOUNDED  z  e.  <. x ,  y >.
2625bdelir 11384 1  |- BOUNDED 
<. x ,  y >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438    C_ wss 2997   {csn 3441   {cpr 3442   <.cop 3444  BOUNDED wbdc 11377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-bd0 11350  ax-bdan 11352  ax-bdor 11353  ax-bdal 11355  ax-bdeq 11357  ax-bdel 11358  ax-bdsb 11359
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-bdc 11378
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator