Theorem bdop 16470

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	|- BOUNDED <. x , y >.

Proof of Theorem bdop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 16469	. . . 4 |- BOUNDED z = { x }
2		bdcpr 16466	. . . . . . 7 |- BOUNDED { x , y }
3	2	bdss 16459	. . . . . 6 |- BOUNDED z C_ { x , y }
4		ax-bdel 16416	. . . . . . . 8 |- BOUNDED x e. z
5		ax-bdel 16416	. . . . . . . 8 |- BOUNDED y e. z
6	4, 5	ax-bdan 16410	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( x e. z /\ y e. z )
7		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
8	7	prid1 3777	. . . . . . . . . 10 |- x e. { x , y }
9		ssel 3221	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. { x , y } -> x e. z ) )
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> x e. z )
11		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
12	11	prid2 3778	. . . . . . . . . 10 |- y e. { x , y }
13		ssel 3221	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( y e. { x , y } -> y e. z ) )
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> y e. z )
15	10, 14	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. z /\ y e. z ) )
16		prssi 3831	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z /\ y e. z ) -> { x , y } C_ z )
17	15, 16	impbii 126	. . . . . . 7 |- ( { x , y } C_ z <-> ( x e. z /\ y e. z ) )
18	6, 17	bd0r 16420	. . . . . 6 |- BOUNDED { x , y } C_ z
19	3, 18	ax-bdan 16410	. . . . 5 |- BOUNDED ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z )
20		eqss 3242	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z ) )
21	19, 20	bd0r 16420	. . . 4 |- BOUNDED z = { x , y }
22	1, 21	ax-bdor 16411	. . 3 |- BOUNDED ( z = { x } \/ z = { x , y } )
23		vex 2805	. . . 4 |- z e. _V
24	23, 7, 11	elop 4323	. . 3 |- ( z e. <. x , y >. <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
25	22, 24	bd0r 16420	. 2 |- BOUNDED z e. <. x , y >.
26	25	bdelir 16442	1 |- BOUNDED <. x , y >.

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   {csn 3669   {cpr 3670   <.cop 3672  BOUNDED wbdc 16435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-bd0 16408  ax-bdan 16410  ax-bdor 16411  ax-bdal 16413  ax-bdeq 16415  ax-bdel 16416  ax-bdsb 16417

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-bdc 16436

This theorem is referenced by: (None)