Theorem bdop 16470

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	⊢ BOUNDED ⟨𝑥, 𝑦⟩

Proof of Theorem bdop

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 16469	. . . 4 ⊢ BOUNDED 𝑧 = {𝑥}
2		bdcpr 16466	. . . . . . 7 ⊢ BOUNDED {𝑥, 𝑦}
3	2	bdss 16459	. . . . . 6 ⊢ BOUNDED 𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦}
4		ax-bdel 16416	. . . . . . . 8 ⊢ BOUNDED 𝑥 ∈ 𝑧
5		ax-bdel 16416	. . . . . . . 8 ⊢ BOUNDED 𝑦 ∈ 𝑧
6	4, 5	ax-bdan 16410	. . . . . . 7 ⊢ BOUNDED (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)
7		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	prid1 3777	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ {𝑥, 𝑦}
9		ssel 3221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑥 ∈ {𝑥, 𝑦} → 𝑥 ∈ 𝑧))
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧)
11		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	prid2 3778	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ {𝑥, 𝑦}
13		ssel 3221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑦 ∈ {𝑥, 𝑦} → 𝑦 ∈ 𝑧))
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧)
15	10, 14	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
16		prssi 3831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧)
17	15, 16	impbii 126	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
18	6, 17	bd0r 16420	. . . . . 6 ⊢ BOUNDED {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧
19	3, 18	ax-bdan 16410	. . . . 5 ⊢ BOUNDED (𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧)
20		eqss 3242	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧))
21	19, 20	bd0r 16420	. . . 4 ⊢ BOUNDED 𝑧 = {𝑥, 𝑦}
22	1, 21	ax-bdor 16411	. . 3 ⊢ BOUNDED (𝑧 = {𝑥} ∨ 𝑧 = {𝑥, 𝑦})
23		vex 2805	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
24	23, 7, 11	elop 4323	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝑧 = {𝑥} ∨ 𝑧 = {𝑥, 𝑦}))
25	22, 24	bd0r 16420	. 2 ⊢ BOUNDED 𝑧 ∈ ⟨𝑥, 𝑦⟩
26	25	bdelir 16442	1 ⊢ BOUNDED ⟨𝑥, 𝑦⟩

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  {csn 3669  {cpr 3670  ⟨cop 3672  BOUNDED wbdc 16435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-bd0 16408  ax-bdan 16410  ax-bdor 16411  ax-bdal 16413  ax-bdeq 16415  ax-bdel 16416  ax-bdsb 16417

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-bdc 16436

This theorem is referenced by: (None)