Theorem bdop 16815

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	⊢ BOUNDED ⟨𝑥, 𝑦⟩

Proof of Theorem bdop

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 16814	. . . 4 ⊢ BOUNDED 𝑧 = {𝑥}
2		bdcpr 16811	. . . . . . 7 ⊢ BOUNDED {𝑥, 𝑦}
3	2	bdss 16804	. . . . . 6 ⊢ BOUNDED 𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦}
4		ax-bdel 16761	. . . . . . . 8 ⊢ BOUNDED 𝑥 ∈ 𝑧
5		ax-bdel 16761	. . . . . . . 8 ⊢ BOUNDED 𝑦 ∈ 𝑧
6	4, 5	ax-bdan 16755	. . . . . . 7 ⊢ BOUNDED (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)
7		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	prid1 3813	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ {𝑥, 𝑦}
9		ssel 3242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑥 ∈ {𝑥, 𝑦} → 𝑥 ∈ 𝑧))
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧)
11		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	prid2 3814	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ {𝑥, 𝑦}
13		ssel 3242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑦 ∈ {𝑥, 𝑦} → 𝑦 ∈ 𝑧))
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧)
15	10, 14	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
16		prssi 3868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧)
17	15, 16	impbii 126	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
18	6, 17	bd0r 16765	. . . . . 6 ⊢ BOUNDED {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧
19	3, 18	ax-bdan 16755	. . . . 5 ⊢ BOUNDED (𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧)
20		eqss 3263	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧))
21	19, 20	bd0r 16765	. . . 4 ⊢ BOUNDED 𝑧 = {𝑥, 𝑦}
22	1, 21	ax-bdor 16756	. . 3 ⊢ BOUNDED (𝑧 = {𝑥} ∨ 𝑧 = {𝑥, 𝑦})
23		vex 2824	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
24	23, 7, 11	elop 4366	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝑧 = {𝑥} ∨ 𝑧 = {𝑥, 𝑦}))
25	22, 24	bd0r 16765	. 2 ⊢ BOUNDED 𝑧 ∈ ⟨𝑥, 𝑦⟩
26	25	bdelir 16787	1 ⊢ BOUNDED ⟨𝑥, 𝑦⟩

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  {csn 3705  {cpr 3706  ⟨cop 3708  BOUNDED wbdc 16780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-bd0 16753  ax-bdan 16755  ax-bdor 16756  ax-bdal 16758  ax-bdeq 16760  ax-bdel 16761  ax-bdsb 16762

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-bdc 16781

This theorem is referenced by: (None)