Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdop GIF version

Theorem bdop 11766
Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
bdop BOUNDED𝑥, 𝑦

Proof of Theorem bdop
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdvsn 11765 . . . 4 BOUNDED 𝑧 = {𝑥}
2 bdcpr 11762 . . . . . . 7 BOUNDED {𝑥, 𝑦}
32bdss 11755 . . . . . 6 BOUNDED 𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦}
4 ax-bdel 11712 . . . . . . . 8 BOUNDED 𝑥𝑧
5 ax-bdel 11712 . . . . . . . 8 BOUNDED 𝑦𝑧
64, 5ax-bdan 11706 . . . . . . 7 BOUNDED (𝑥𝑧𝑦𝑧)
7 vex 2622 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
87prid1 3548 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ {𝑥, 𝑦}
9 ssel 3019 . . . . . . . . . 10 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑥 ∈ {𝑥, 𝑦} → 𝑥𝑧))
108, 9mpi 15 . . . . . . . . 9 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧𝑥𝑧)
11 vex 2622 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
1211prid2 3549 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ {𝑥, 𝑦}
13 ssel 3019 . . . . . . . . . 10 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑦 ∈ {𝑥, 𝑦} → 𝑦𝑧))
1412, 13mpi 15 . . . . . . . . 9 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧𝑦𝑧)
1510, 14jca 300 . . . . . . . 8 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑥𝑧𝑦𝑧))
16 prssi 3595 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑧𝑦𝑧) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧)
1715, 16impbii 124 . . . . . . 7 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥𝑧𝑦𝑧))
186, 17bd0r 11716 . . . . . 6 BOUNDED {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧
193, 18ax-bdan 11706 . . . . 5 BOUNDED (𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧)
20 eqss 3040 . . . . 5 (𝑧 = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧))
2119, 20bd0r 11716 . . . 4 BOUNDED 𝑧 = {𝑥, 𝑦}
221, 21ax-bdor 11707 . . 3 BOUNDED (𝑧 = {𝑥} ∨ 𝑧 = {𝑥, 𝑦})
23 vex 2622 . . . 4 𝑧 ∈ V
2423, 7, 11elop 4058 . . 3 (𝑧 ∈ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝑧 = {𝑥} ∨ 𝑧 = {𝑥, 𝑦}))
2522, 24bd0r 11716 . 2 BOUNDED 𝑧 ∈ ⟨𝑥, 𝑦
2625bdelir 11738 1 BOUNDED𝑥, 𝑦
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wo 664   = wceq 1289  wcel 1438  wss 2999  {csn 3446  {cpr 3447  cop 3449  BOUNDED wbdc 11731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-bd0 11704  ax-bdan 11706  ax-bdor 11707  ax-bdal 11709  ax-bdeq 11711  ax-bdel 11712  ax-bdsb 11713
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-bdc 11732
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator