Theorem bdop 11766

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	⊢ BOUNDED ⟨𝑥, 𝑦⟩

Proof of Theorem bdop

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 11765	. . . 4 ⊢ BOUNDED 𝑧 = {𝑥}
2		bdcpr 11762	. . . . . . 7 ⊢ BOUNDED {𝑥, 𝑦}
3	2	bdss 11755	. . . . . 6 ⊢ BOUNDED 𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦}
4		ax-bdel 11712	. . . . . . . 8 ⊢ BOUNDED 𝑥 ∈ 𝑧
5		ax-bdel 11712	. . . . . . . 8 ⊢ BOUNDED 𝑦 ∈ 𝑧
6	4, 5	ax-bdan 11706	. . . . . . 7 ⊢ BOUNDED (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)
7		vex 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	prid1 3548	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ {𝑥, 𝑦}
9		ssel 3019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑥 ∈ {𝑥, 𝑦} → 𝑥 ∈ 𝑧))
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧)
11		vex 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	prid2 3549	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ {𝑥, 𝑦}
13		ssel 3019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑦 ∈ {𝑥, 𝑦} → 𝑦 ∈ 𝑧))
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧)
15	10, 14	jca 300	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
16		prssi 3595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧)
17	15, 16	impbii 124	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
18	6, 17	bd0r 11716	. . . . . 6 ⊢ BOUNDED {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧
19	3, 18	ax-bdan 11706	. . . . 5 ⊢ BOUNDED (𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧)
20		eqss 3040	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧))
21	19, 20	bd0r 11716	. . . 4 ⊢ BOUNDED 𝑧 = {𝑥, 𝑦}
22	1, 21	ax-bdor 11707	. . 3 ⊢ BOUNDED (𝑧 = {𝑥} ∨ 𝑧 = {𝑥, 𝑦})
23		vex 2622	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
24	23, 7, 11	elop 4058	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝑧 = {𝑥} ∨ 𝑧 = {𝑥, 𝑦}))
25	22, 24	bd0r 11716	. 2 ⊢ BOUNDED 𝑧 ∈ ⟨𝑥, 𝑦⟩
26	25	bdelir 11738	1 ⊢ BOUNDED ⟨𝑥, 𝑦⟩

Syntax hints:   ∧ wa 102   ∨ wo 664   = wceq 1289   ∈ wcel 1438   ⊆ wss 2999  {csn 3446  {cpr 3447  ⟨cop 3449  BOUNDED wbdc 11731

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-bd0 11704  ax-bdan 11706  ax-bdor 11707  ax-bdal 11709  ax-bdeq 11711  ax-bdel 11712  ax-bdsb 11713

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-bdc 11732

This theorem is referenced by: (None)