Theorem card0 7154

Description: The cardinality of the empty set is the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
card0	|- ( card ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem card0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4375	. . 3 |- (/) e. On
2		cardonle 7153	. . 3 |- ( (/) e. On -> ( card ` (/) ) C_ (/) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( card ` (/) ) C_ (/)
4		ss0b 3453	. 2 |- ( ( card ` (/) ) C_ (/) <-> ( card ` (/) ) = (/) )
5	3, 4	mpbi 144	1 |- ( card ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141   C_ wss 3121   (/)c0 3414   Oncon0 4346   ` cfv 5196   cardccrd 7145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-en 6716  df-card 7146

This theorem is referenced by: (None)