Theorem ficardon 7436

Description: The cardinal number of a finite set is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ficardon	|- ( A e. Fin -> ( card ` A ) e. On )

Proof of Theorem ficardon

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6977	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
2		omsson 4717	. . . . 5 |- om C_ On
3		ssrexv 3293	. . . . 5 |- ( om C_ On -> ( E. x e. om A ~~ x -> E. x e. On A ~~ x ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. x e. om A ~~ x -> E. x e. On A ~~ x )
5	1, 4	sylbi 121	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. x e. On A ~~ x )
6		ensymb 6997	. . . 4 |- ( A ~~ x <-> x ~~ A )
7	6	rexbii 2540	. . 3 |- ( E. x e. On A ~~ x <-> E. x e. On x ~~ A )
8	5, 7	sylib 122	. 2 |- ( A e. Fin -> E. x e. On x ~~ A )
9		cardcl 7428	. 2 |- ( E. x e. On x ~~ A -> ( card ` A ) e. On )
10	8, 9	syl 14	1 |- ( A e. Fin -> ( card ` A ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   E.wrex 2512   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   Oncon0 4466   omcom 4694   ` cfv 5333   ~~ cen 6950   Fincfn 6952   cardccrd 7424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-card 7426

This theorem is referenced by: (None)