Theorem ficardon 7349

Description: The cardinal number of a finite set is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ficardon	|- ( A e. Fin -> ( card ` A ) e. On )

Proof of Theorem ficardon

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6902	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
2		omsson 4702	. . . . 5 |- om C_ On
3		ssrexv 3289	. . . . 5 |- ( om C_ On -> ( E. x e. om A ~~ x -> E. x e. On A ~~ x ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. x e. om A ~~ x -> E. x e. On A ~~ x )
5	1, 4	sylbi 121	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. x e. On A ~~ x )
6		ensymb 6922	. . . 4 |- ( A ~~ x <-> x ~~ A )
7	6	rexbii 2537	. . 3 |- ( E. x e. On A ~~ x <-> E. x e. On x ~~ A )
8	5, 7	sylib 122	. 2 |- ( A e. Fin -> E. x e. On x ~~ A )
9		cardcl 7341	. 2 |- ( E. x e. On x ~~ A -> ( card ` A ) e. On )
10	8, 9	syl 14	1 |- ( A e. Fin -> ( card ` A ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4082   Oncon0 4451   omcom 4679   ` cfv 5314   ~~ cen 6875   Fincfn 6877   cardccrd 7337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-er 6670  df-en 6878  df-fin 6880  df-card 7339

This theorem is referenced by: (None)