Theorem ficardon 7485

Description: The cardinal number of a finite set is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ficardon	|- ( A e. Fin -> ( card ` A ) e. On )

Proof of Theorem ficardon

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7000	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
2		omsson 4735	. . . . 5 |- om C_ On
3		ssrexv 3303	. . . . 5 |- ( om C_ On -> ( E. x e. om A ~~ x -> E. x e. On A ~~ x ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. x e. om A ~~ x -> E. x e. On A ~~ x )
5	1, 4	sylbi 121	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. x e. On A ~~ x )
6		ensymb 7020	. . . 4 |- ( A ~~ x <-> x ~~ A )
7	6	rexbii 2549	. . 3 |- ( E. x e. On A ~~ x <-> E. x e. On x ~~ A )
8	5, 7	sylib 122	. 2 |- ( A e. Fin -> E. x e. On x ~~ A )
9		cardcl 7477	. 2 |- ( E. x e. On x ~~ A -> ( card ` A ) e. On )
10	8, 9	syl 14	1 |- ( A e. Fin -> ( card ` A ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   E.wrex 2521   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   Oncon0 4484   omcom 4712   ` cfv 5352   ~~ cen 6973   Fincfn 6975   cardccrd 7473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978  df-card 7475

This theorem is referenced by: (None)