Theorem card0 7204

Description: The cardinality of the empty set is the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
card0	⊢ (card‘∅) = ∅

Proof of Theorem card0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4406	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		cardonle 7203	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → (card‘∅) ⊆ ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (card‘∅) ⊆ ∅
4		ss0b 3476	. 2 ⊢ ((card‘∅) ⊆ ∅ ↔ (card‘∅) = ∅)
5	3, 4	mpbi 145	1 ⊢ (card‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1363   ∈ wcel 2159   ⊆ wss 3143  ∅c0 3436  Oncon0 4377  ‘cfv 5230  cardccrd 7195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-en 6758  df-card 7196

This theorem is referenced by: (None)