Theorem cldss2 13468

Description: The set of closed sets is contained in the powerset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cldss2	|- ( Clsd ` J ) C_ ~P X

Proof of Theorem cldss2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	cldss 13467	. . 3 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ X )
3		velpw 3582	. . 3 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
4	2, 3	sylibr 134	. 2 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. ~P X )
5	4	ssriv 3159	1 |- ( Clsd ` J ) C_ ~P X

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3129   ~Pcpw 3575   U.cuni 3809   ` cfv 5214   Clsdccld 13454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-fv 5222  df-top 13358  df-cld 13457

This theorem is referenced by: (None)