Theorem climrel 11188

Description: The limit relation is a relation. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climrel	|- Rel ~~>

Proof of Theorem climrel

Dummy variables j k x y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clim 11187	. 2 |- ~~> = { <. f , y >. | ( y e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) ) }
2	1	relopabi 4714	1 |- Rel ~~>

Syntax hints:   /\ wa 103   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   class class class wbr 3967   Rel wrel 4593   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   CCcc 7732   < clt 7914   - cmin 8050   ZZcz 9172   ZZ>=cuz 9444   RR+crp 9566   abscabs 10908   ~~> cli 11186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-opab 4028  df-xp 4594  df-rel 4595  df-clim 11187

This theorem is referenced by:  clim  11189  climcl  11190  climi  11195  fclim  11202  climrecl  11232  iserex  11247  climrecvg1n  11256  climcvg1nlem  11257  fsum3cvg3  11304  trirecip  11409  ntrivcvgap0  11457