ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  trirecip Unicode version

Theorem trirecip 11634
Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
trirecip  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) )  =  2

Proof of Theorem trirecip
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 9045 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
2 peano2nn 8984 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
3 nnmulcl 8993 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( k  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
42, 3mpdan 421 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
54nncnd 8986 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  x.  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
64nnap0d 9018 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) #  0 )
71, 5, 6divrecapd 8802 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) ) ) )
87sumeq2i 11497 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  NN  (
2  x.  ( 1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
9 nnuz 9618 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10 1zzd 9334 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
11 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
124adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
1312nnrecred 9019 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
14 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
15 oveq1 5917 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
1614, 15oveq12d 5928 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )
1716oveq2d 5926 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( 1  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
18 eqid 2193 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
1917, 18fvmptg 5625 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) `
 k )  =  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
2011, 13, 19syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
214nnrecred 9019 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
2221recnd 8038 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
2322adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
2418trireciplem 11633 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  ~~>  1
2524a1i 9 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  1 )
26 climrel 11413 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
2726releldmi 4895 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  1  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
2825, 27syl 14 . . . . 5  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
29 2cnd 9045 . . . . 5  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
309, 10, 20, 23, 28, 29isummulc2 11559 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  NN  ( 2  x.  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) ) ) )
319, 10, 20, 23, 25isumclim 11554 . . . . 5  |-  ( T. 
->  sum_ k  e.  NN  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
3231oveq2d 5926 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
3330, 32eqtr3d 2228 . . 3  |-  ( T. 
->  sum_ k  e.  NN  ( 2  x.  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
3433mptru 1373 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  x.  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
35 2t1e2 9125 . 2  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
368, 34, 353eqtri 2218 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) )  =  2
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 2164   class class class wbr 4029    |-> cmpt 4090   dom cdm 4655   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   CCcc 7860   RRcr 7861   1c1 7863    + caddc 7865    x. cmul 7867    / cdiv 8681   NNcn 8972   2c2 9023    seqcseq 10508    ~~> cli 11411   sum_csu 11486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980  ax-arch 7981  ax-caucvg 7982
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-isom 5255  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-irdg 6414  df-frec 6435  df-1o 6460  df-oadd 6464  df-er 6578  df-en 6786  df-dom 6787  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-q 9675  df-rp 9710  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509  df-exp 10600  df-ihash 10837  df-shft 10949  df-cj 10976  df-re 10977  df-im 10978  df-rsqrt 11132  df-abs 11133  df-clim 11412  df-sumdc 11487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator