Theorem trirecip 11302

Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
trirecip	|- sum_ k e. NN ( 2 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) = 2

Proof of Theorem trirecip

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 8817	. . . 4 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
2		peano2nn 8756	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
3		nnmulcl 8765	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( k x. ( k + 1 ) ) e. NN )
4	2, 3	mpdan 418	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( k x. ( k + 1 ) ) e. NN )
5	4	nncnd 8758	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( k x. ( k + 1 ) ) e. CC )
6	4	nnap0d 8790	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( k x. ( k + 1 ) ) # 0 )
7	1, 5, 6	divrecapd 8577	. . 3 |- ( k e. NN -> ( 2 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) ) )
8	7	sumeq2i 11165	. 2 |- sum_ k e. NN ( 2 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) = sum_ k e. NN ( 2 x. ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) )
9		nnuz 9385	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10		1zzd 9105	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
11		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. NN )
12	4	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k x. ( k + 1 ) ) e. NN )
13	12	nnrecred 8791	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) e. RR )
14		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> n = k )
15		oveq1 5789	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n + 1 ) = ( k + 1 ) )
16	14, 15	oveq12d 5800	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( n x. ( n + 1 ) ) = ( k x. ( k + 1 ) ) )
17	16	oveq2d 5798	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) )
18		eqid 2140	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
19	17, 18	fvmptg 5505	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) )
20	11, 13, 19	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) ` k ) = ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) )
21	4	nnrecred 8791	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) e. RR )
22	21	recnd 7818	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) e. CC )
23	22	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) e. CC )
24	18	trireciplem 11301	. . . . . . 7 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) ) ~~> 1
25	24	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) ) ~~> 1 )
26		climrel 11081	. . . . . . 7 |- Rel ~~>
27	26	releldmi 4786	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) ) ~~> 1 -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) ) e. dom ~~> )
28	25, 27	syl 14	. . . . 5 |- ( T. -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) ) e. dom ~~> )
29		2cnd 8817	. . . . 5 |- ( T. -> 2 e. CC )
30	9, 10, 20, 23, 28, 29	isummulc2 11227	. . . 4 |- ( T. -> ( 2 x. sum_ k e. NN ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) ) = sum_ k e. NN ( 2 x. ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) ) )
31	9, 10, 20, 23, 25	isumclim 11222	. . . . 5 |- ( T. -> sum_ k e. NN ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) = 1 )
32	31	oveq2d 5798	. . . 4 |- ( T. -> ( 2 x. sum_ k e. NN ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. 1 ) )
33	30, 32	eqtr3d 2175	. . 3 |- ( T. -> sum_ k e. NN ( 2 x. ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. 1 ) )
34	33	mptru 1341	. 2 |- sum_ k e. NN ( 2 x. ( 1 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. 1 )
35		2t1e2 8897	. 2 |- ( 2 x. 1 ) = 2
36	8, 34, 35	3eqtri 2165	1 |- sum_ k e. NN ( 2 / ( k x. ( k + 1 ) ) ) = 2

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   T. wtru 1333   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   dom cdm 4547   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   / cdiv 8456   NNcn 8744   2c2 8795   seqcseq 10249   ~~> cli 11079   sum_csu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-shft 10619  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by: (None)