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Theorem climrecvg1n 11351
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within  C  /  n of the nth term, where  C is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
climrecvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
climrecvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
Assertion
Ref Expression
climrecvg1n  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    C, k, n   
k, F, n    ph, k, n

Proof of Theorem climrecvg1n
Dummy variables  e  i  j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrecvg1n.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
2 climrecvg1n.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 climrecvg1n.cau . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
43r19.21bi 2565 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) )
54r19.21bi 2565 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
61ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> RR )
7 eluznn 9598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
87adantll 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
96, 8ffvelcdmd 5652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
10 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
116, 10ffvelcdmd 5652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
122ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  C  e.  RR+ )
1310nnrpd 9692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
1412, 13rpdivcld 9712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  n )  e.  RR+ )
1514rpred 9694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  n )  e.  RR )
169, 11, 15absdifltd 11182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n )  <->  ( (
( F `  n
)  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) ) )
175, 16mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  n
)  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
1811, 15, 9ltsubaddd 8496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  n
)  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  <->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
1918anbi1d 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( F `  n )  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) )  <->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) ) )
2017, 19mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
2120ralrimiva 2550 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
2221ralrimiva 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
231, 2, 22cvg1n 10990 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) )
241adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F : NN
--> RR )
2524ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  F : NN --> RR )
26 eluznn 9598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  i ) )  -> 
j  e.  NN )
2726adantll 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  j  e.  NN )
2825, 27ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
3029ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  y  e.  RR )
31 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  e  e.  RR+ )
3231rpred 9694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  e  e.  RR )
3328, 30, 32absdifltd 11182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  ( ( y  -  e
)  <  ( F `  j )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) ) ) )
3430, 32, 28ltsubaddd 8496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( y  -  e )  < 
( F `  j
)  <->  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) )
3534anbi1d 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( ( y  -  e )  <  ( F `  j )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) )  <->  ( y  <  ( ( F `  j )  +  e )  /\  ( F `
 j )  < 
( y  +  e ) ) ) )
3633, 35bitrd 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  ( y  <  ( ( F `  j )  +  e )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) ) ) )
37 ancom 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  <  ( ( F `  j )  +  e )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) )  <->  ( ( F `  j )  <  ( y  +  e )  /\  y  < 
( ( F `  j )  +  e ) ) )
3836, 37bitrdi 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  ( ( F `  j
)  <  ( y  +  e )  /\  y  <  ( ( F `
 j )  +  e ) ) ) )
3938ralbidva 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  e  <->  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) ) )
4039rexbidva 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i ) ( ( F `  j )  <  ( y  +  e )  /\  y  <  ( ( F `  j )  +  e ) ) ) )
4140ralbidva 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  e  <->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) ) )
42 nnuz 9561 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
43 1zzd 9278 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
44 nnex 8923 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
4544a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  NN  e.  _V )
46 reex 7944 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
4746a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  RR  e.  _V )
48 fex2 5384 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> RR  /\  NN  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
4924, 45, 47, 48syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F  e. 
_V )
50 eqidd 2178 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  j ) )
5129recnd 7984 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
5224ffvelcdmda 5651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
5352recnd 7984 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
5442, 43, 49, 50, 51, 53clim2c 11287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  ~~>  y  <->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e
) )
55 climrel 11283 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
5655releldmi 4866 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  y  ->  F  e.  dom 
~~>  )
5754, 56syl6bir 164 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  e  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
5841, 57sylbird 170 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) )  ->  F  e.  dom 
~~>  ) )
5958impr 379 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
6023, 59rexlimddv 2599 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   class class class wbr 4003   dom cdm 4626   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   RRcr 7809   1c1 7811    + caddc 7813    < clt 7990    - cmin 8126    / cdiv 8627   NNcn 8917   ZZ>=cuz 9526   RR+crp 9651   abscabs 11001    ~~> cli 11281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282
This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  11352
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