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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > climrecvg1n | Unicode version |
Description: A Cauchy sequence of real
numbers converges, existence version. The
rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be
within ![]() ![]() ![]() ![]() |
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climrecvg1n.f |
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climrecvg1n.c |
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climrecvg1n.cau |
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climrecvg1n |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | climrecvg1n.f |
. . 3
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2 | climrecvg1n.c |
. . 3
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3 | climrecvg1n.cau |
. . . . . . . . 9
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4 | 3 | r19.21bi 2565 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | r19.21bi 2565 |
. . . . . . 7
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6 | 1 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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7 | eluznn 9598 |
. . . . . . . . . 10
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8 | 7 | adantll 476 |
. . . . . . . . 9
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9 | 6, 8 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . . . . 8
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10 | simplr 528 |
. . . . . . . . 9
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11 | 6, 10 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . . . . 8
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12 | 2 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 10 | nnrpd 9692 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 12, 13 | rpdivcld 9712 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | rpred 9694 |
. . . . . . . 8
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16 | 9, 11, 15 | absdifltd 11182 |
. . . . . . 7
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17 | 5, 16 | mpbid 147 |
. . . . . 6
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18 | 11, 15, 9 | ltsubaddd 8496 |
. . . . . . 7
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19 | 18 | anbi1d 465 |
. . . . . 6
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20 | 17, 19 | mpbid 147 |
. . . . 5
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21 | 20 | ralrimiva 2550 |
. . . 4
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22 | 21 | ralrimiva 2550 |
. . 3
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23 | 1, 2, 22 | cvg1n 10990 |
. 2
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24 | 1 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 24 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | eluznn 9598 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | 26 | adantll 476 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | 25, 27 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . . . . . . 10
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29 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . 10
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31 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | rpred 9694 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 28, 30, 32 | absdifltd 11182 |
. . . . . . . . 9
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34 | 30, 32, 28 | ltsubaddd 8496 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 34 | anbi1d 465 |
. . . . . . . . 9
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36 | 33, 35 | bitrd 188 |
. . . . . . . 8
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37 | ancom 266 |
. . . . . . . 8
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38 | 36, 37 | bitrdi 196 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | ralbidva 2473 |
. . . . . 6
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40 | 39 | rexbidva 2474 |
. . . . 5
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41 | 40 | ralbidva 2473 |
. . . 4
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42 | nnuz 9561 |
. . . . . 6
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43 | 1zzd 9278 |
. . . . . 6
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44 | nnex 8923 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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46 | reex 7944 |
. . . . . . . 8
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47 | 46 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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48 | fex2 5384 |
. . . . . . 7
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49 | 24, 45, 47, 48 | syl3anc 1238 |
. . . . . 6
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50 | eqidd 2178 |
. . . . . 6
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51 | 29 | recnd 7984 |
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52 | 24 | ffvelcdmda 5651 |
. . . . . . 7
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53 | 52 | recnd 7984 |
. . . . . 6
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54 | 42, 43, 49, 50, 51, 53 | clim2c 11287 |
. . . . 5
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55 | climrel 11283 |
. . . . . 6
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56 | 55 | releldmi 4866 |
. . . . 5
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57 | 54, 56 | syl6bir 164 |
. . . 4
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58 | 41, 57 | sylbird 170 |
. . 3
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59 | 58 | impr 379 |
. 2
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60 | 23, 59 | rexlimddv 2599 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-pnf 7992 df-mnf 7993 df-xr 7994 df-ltxr 7995 df-le 7996 df-sub 8128 df-neg 8129 df-reap 8530 df-ap 8537 df-div 8628 df-inn 8918 df-2 8976 df-3 8977 df-4 8978 df-n0 9175 df-z 9252 df-uz 9527 df-rp 9652 df-seqfrec 10443 df-exp 10517 df-cj 10846 df-re 10847 df-im 10848 df-rsqrt 11002 df-abs 11003 df-clim 11282 |
This theorem is referenced by: climcvg1nlem 11352 |
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