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Theorem climrecvg1n 11068
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within  C  /  n of the nth term, where  C is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
climrecvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
climrecvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
Assertion
Ref Expression
climrecvg1n  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    C, k, n   
k, F, n    ph, k, n

Proof of Theorem climrecvg1n
Dummy variables  e  i  j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrecvg1n.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
2 climrecvg1n.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 climrecvg1n.cau . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
43r19.21bi 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) )
54r19.21bi 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
61ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> RR )
7 eluznn 9346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
87adantll 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
96, 8ffvelrnd 5522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
10 simplr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
116, 10ffvelrnd 5522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
122ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  C  e.  RR+ )
1310nnrpd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
1412, 13rpdivcld 9452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  n )  e.  RR+ )
1514rpred 9434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  n )  e.  RR )
169, 11, 15absdifltd 10901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n )  <->  ( (
( F `  n
)  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) ) )
175, 16mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  n
)  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
1811, 15, 9ltsubaddd 8266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  n
)  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  <->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
1918anbi1d 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( F `  n )  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) )  <->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) ) )
2017, 19mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
2120ralrimiva 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
2221ralrimiva 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
231, 2, 22cvg1n 10709 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) )
241adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F : NN
--> RR )
2524ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  F : NN --> RR )
26 eluznn 9346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  i ) )  -> 
j  e.  NN )
2726adantll 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  j  e.  NN )
2825, 27ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
29 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
3029ad3antrrr 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  y  e.  RR )
31 simpllr 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  e  e.  RR+ )
3231rpred 9434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  e  e.  RR )
3328, 30, 32absdifltd 10901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  ( ( y  -  e
)  <  ( F `  j )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) ) ) )
3430, 32, 28ltsubaddd 8266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( y  -  e )  < 
( F `  j
)  <->  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) )
3534anbi1d 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( ( y  -  e )  <  ( F `  j )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) )  <->  ( y  <  ( ( F `  j )  +  e )  /\  ( F `
 j )  < 
( y  +  e ) ) ) )
3633, 35bitrd 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  ( y  <  ( ( F `  j )  +  e )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) ) ) )
37 ancom 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  <  ( ( F `  j )  +  e )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) )  <->  ( ( F `  j )  <  ( y  +  e )  /\  y  < 
( ( F `  j )  +  e ) ) )
3836, 37syl6bb 195 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  ( ( F `  j
)  <  ( y  +  e )  /\  y  <  ( ( F `
 j )  +  e ) ) ) )
3938ralbidva 2408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  e  <->  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) ) )
4039rexbidva 2409 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i ) ( ( F `  j )  <  ( y  +  e )  /\  y  <  ( ( F `  j )  +  e ) ) ) )
4140ralbidva 2408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  e  <->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) ) )
42 nnuz 9313 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
43 1zzd 9035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
44 nnex 8686 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
4544a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  NN  e.  _V )
46 reex 7718 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
4746a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  RR  e.  _V )
48 fex2 5259 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> RR  /\  NN  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
4924, 45, 47, 48syl3anc 1199 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F  e. 
_V )
50 eqidd 2116 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  j ) )
5129recnd 7758 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
5224ffvelrnda 5521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
5352recnd 7758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
5442, 43, 49, 50, 51, 53clim2c 11004 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  ~~>  y  <->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e
) )
55 climrel 11000 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
5655releldmi 4746 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  y  ->  F  e.  dom 
~~>  )
5754, 56syl6bir 163 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  e  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
5841, 57sylbird 169 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) )  ->  F  e.  dom 
~~>  ) )
5958impr 374 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
6023, 59rexlimddv 2529 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392   _Vcvv 2658   class class class wbr 3897   dom cdm 4507   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   RRcr 7583   1c1 7585    + caddc 7587    < clt 7764    - cmin 7897    / cdiv 8395   NNcn 8680   ZZ>=cuz 9278   RR+crp 9393   abscabs 10720    ~~> cli 10998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-rp 9394  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999
This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  11069
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