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Theorem climrecvg1n 10701
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within  C  /  n of the nth term, where  C is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
climrecvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
climrecvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
Assertion
Ref Expression
climrecvg1n  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    C, k, n   
k, F, n    ph, k, n

Proof of Theorem climrecvg1n
Dummy variables  e  i  j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrecvg1n.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
2 climrecvg1n.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 climrecvg1n.cau . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
43r19.21bi 2461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) )
54r19.21bi 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
61ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> RR )
7 eluznn 9056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
87adantll 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
96, 8ffvelrnd 5419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
10 simplr 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
116, 10ffvelrnd 5419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
122ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  C  e.  RR+ )
1310nnrpd 9141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
1412, 13rpdivcld 9160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  n )  e.  RR+ )
1514rpred 9142 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  n )  e.  RR )
169, 11, 15absdifltd 10576 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n )  <->  ( (
( F `  n
)  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) ) )
175, 16mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  n
)  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
1811, 15, 9ltsubaddd 7994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  n
)  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  <->  ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
1918anbi1d 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( ( F `  n )  -  ( C  /  n ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) )  <->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) ) )
2017, 19mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
2120ralrimiva 2446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
2221ralrimiva 2446 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
231, 2, 22cvg1n 10384 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) )
241adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F : NN
--> RR )
2524ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  F : NN --> RR )
26 eluznn 9056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  i ) )  -> 
j  e.  NN )
2726adantll 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  j  e.  NN )
2825, 27ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
29 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
3029ad3antrrr 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  y  e.  RR )
31 simpllr 501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  e  e.  RR+ )
3231rpred 9142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  e  e.  RR )
3328, 30, 32absdifltd 10576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  ( ( y  -  e
)  <  ( F `  j )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) ) ) )
3430, 32, 28ltsubaddd 7994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( y  -  e )  < 
( F `  j
)  <->  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) )
3534anbi1d 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( ( y  -  e )  <  ( F `  j )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) )  <->  ( y  <  ( ( F `  j )  +  e )  /\  ( F `
 j )  < 
( y  +  e ) ) ) )
3633, 35bitrd 186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  ( y  <  ( ( F `  j )  +  e )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) ) ) )
37 ancom 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  <  ( ( F `  j )  +  e )  /\  ( F `  j )  <  ( y  +  e ) )  <->  ( ( F `  j )  <  ( y  +  e )  /\  y  < 
( ( F `  j )  +  e ) ) )
3836, 37syl6bb 194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  i ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  ( ( F `  j
)  <  ( y  +  e )  /\  y  <  ( ( F `
 j )  +  e ) ) ) )
3938ralbidva 2376 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  e  <->  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) ) )
4039rexbidva 2377 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e  <->  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i ) ( ( F `  j )  <  ( y  +  e )  /\  y  <  ( ( F `  j )  +  e ) ) ) )
4140ralbidva 2376 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  e  <->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) ) )
42 nnuz 9023 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
43 1zzd 8747 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
44 nnex 8400 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
4544a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  NN  e.  _V )
46 reex 7455 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
4746a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  RR  e.  _V )
48 fex2 5164 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> RR  /\  NN  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
4924, 45, 47, 48syl3anc 1174 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F  e. 
_V )
50 eqidd 2089 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  j ) )
5129recnd 7495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
5224ffvelrnda 5418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
5352recnd 7495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
5442, 43, 49, 50, 51, 53clim2c 10636 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  ~~>  y  <->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  e
) )
55 climrel 10632 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
5655releldmi 4662 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  y  ->  F  e.  dom 
~~>  )
5754, 56syl6bir 162 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  e  ->  F  e.  dom  ~~>  ) )
5841, 57sylbird 168 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) )  ->  F  e.  dom 
~~>  ) )
5958impr 371 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN  A. j  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( F `  j )  <  (
y  +  e )  /\  y  <  (
( F `  j
)  +  e ) ) ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
6023, 59rexlimddv 2493 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619   class class class wbr 3837   dom cdm 4428   -->wf 4998   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   RRcr 7328   1c1 7330    + caddc 7332    < clt 7501    - cmin 7632    / cdiv 8113   NNcn 8394   ZZ>=cuz 8988   RR+crp 9103   abscabs 10395    ~~> cli 10630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631
This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  10702
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