Theorem climrecvg1n 11875

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within C / n of the nth term, where C is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
climrecvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
climrecvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )

Assertion

Ref	Expression
climrecvg1n	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k, n   k, F, n   ph, k, n

Proof of Theorem climrecvg1n

Dummy variables e i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecvg1n.f	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> RR )
2		climrecvg1n.c	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
3		climrecvg1n.cau	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
4	3	r19.21bi 2618	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
5	4	r19.21bi 2618	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
6	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR )
7		eluznn 9807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
8	7	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
9	6, 8	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
10		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
11	6, 10	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
12	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR+ )
13	10	nnrpd 9902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
14	12, 13	rpdivcld 9922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR+ )
15	14	rpred 9904	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR )
16	9, 11, 15	absdifltd 11705	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) <-> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) ) )
17	5, 16	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
18	11, 15, 9	ltsubaddd 8699	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) ) )
19	18	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) ) )
20	17, 19	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
21	20	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
22	21	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
23	1, 2, 22	cvg1n 11513	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
24	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F : NN --> RR )
25	24	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> F : NN --> RR )
26		eluznn 9807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> j e. NN )
27	26	adantll 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> j e. NN )
28	25, 27	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> y e. RR )
31		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> e e. RR+ )
32	31	rpred 9904	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> e e. RR )
33	28, 30, 32	absdifltd 11705	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( ( y - e ) < ( F ` j ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
34	30, 32, 28	ltsubaddd 8699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( y - e ) < ( F ` j ) <-> y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
35	34	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( y - e ) < ( F ` j ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) <-> ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
36	33, 35	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
37		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) <-> ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
38	36, 37	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
39	38	ralbidva 2526	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
40	39	rexbidva 2527	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
41	40	ralbidva 2526	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
42		nnuz 9770	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43		1zzd 9484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ )
44		nnex 9127	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
45	44	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> NN e. _V )
46		reex 8144	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
47	46	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> RR e. _V )
48		fex2 5494	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN --> RR /\ NN e. _V /\ RR e. _V ) -> F e. _V )
49	24, 45, 47, 48	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F e. _V )
50		eqidd 2230	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
51	29	recnd 8186	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
52	24	ffvelcdmda 5772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
53	52	recnd 8186	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. CC )
54	42, 43, 49, 50, 51, 53	clim2c 11811	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ~~> y <-> A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e ) )
55		climrel 11807	. . . . . 6 |- Rel ~~>
56	55	releldmi 4963	. . . . 5 |- ( F ~~> y -> F e. dom ~~> )
57	54, 56	biimtrrdi 164	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e -> F e. dom ~~> ) )
58	41, 57	sylbird 170	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) -> F e. dom ~~> ) )
59	58	impr 379	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) ) -> F e. dom ~~> )
60	23, 59	rexlimddv 2653	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8009   1c1 8011   + caddc 8013   < clt 8192   - cmin 8328   / cdiv 8830   NNcn 9121   ZZ>=cuz 9733   RR+crp 9861   abscabs 11524   ~~> cli 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-rp 9862  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-clim 11806

This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  11876