Theorem climrecvg1n 11149

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within C / n of the nth term, where C is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
climrecvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
climrecvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )

Assertion

Ref	Expression
climrecvg1n	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k, n   k, F, n   ph, k, n

Proof of Theorem climrecvg1n

Dummy variables e i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecvg1n.f	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> RR )
2		climrecvg1n.c	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
3		climrecvg1n.cau	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
4	3	r19.21bi 2523	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
5	4	r19.21bi 2523	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
6	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR )
7		eluznn 9421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
8	7	adantll 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
9	6, 8	ffvelrnd 5564	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
10		simplr 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
11	6, 10	ffvelrnd 5564	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
12	2	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR+ )
13	10	nnrpd 9511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
14	12, 13	rpdivcld 9531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR+ )
15	14	rpred 9513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR )
16	9, 11, 15	absdifltd 10982	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) <-> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) ) )
17	5, 16	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
18	11, 15, 9	ltsubaddd 8327	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) ) )
19	18	anbi1d 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) ) )
20	17, 19	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
21	20	ralrimiva 2508	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
22	21	ralrimiva 2508	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
23	1, 2, 22	cvg1n 10790	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
24	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F : NN --> RR )
25	24	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> F : NN --> RR )
26		eluznn 9421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> j e. NN )
27	26	adantll 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> j e. NN )
28	25, 27	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
29		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
30	29	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> y e. RR )
31		simpllr 524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> e e. RR+ )
32	31	rpred 9513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> e e. RR )
33	28, 30, 32	absdifltd 10982	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( ( y - e ) < ( F ` j ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
34	30, 32, 28	ltsubaddd 8327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( y - e ) < ( F ` j ) <-> y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
35	34	anbi1d 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( y - e ) < ( F ` j ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) <-> ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
36	33, 35	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
37		ancom 264	. . . . . . . 8 |- ( ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) <-> ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
38	36, 37	syl6bb 195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
39	38	ralbidva 2434	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
40	39	rexbidva 2435	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
41	40	ralbidva 2434	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
42		nnuz 9385	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43		1zzd 9105	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ )
44		nnex 8750	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
45	44	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> NN e. _V )
46		reex 7778	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
47	46	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> RR e. _V )
48		fex2 5299	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN --> RR /\ NN e. _V /\ RR e. _V ) -> F e. _V )
49	24, 45, 47, 48	syl3anc 1217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F e. _V )
50		eqidd 2141	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
51	29	recnd 7818	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
52	24	ffvelrnda 5563	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
53	52	recnd 7818	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. CC )
54	42, 43, 49, 50, 51, 53	clim2c 11085	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ~~> y <-> A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e ) )
55		climrel 11081	. . . . . 6 |- Rel ~~>
56	55	releldmi 4786	. . . . 5 |- ( F ~~> y -> F e. dom ~~> )
57	54, 56	syl6bir 163	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e -> F e. dom ~~> ) )
58	41, 57	sylbird 169	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) -> F e. dom ~~> ) )
59	58	impr 377	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) ) -> F e. dom ~~> )
60	23, 59	rexlimddv 2557	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   dom cdm 4547   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   - cmin 7957   / cdiv 8456   NNcn 8744   ZZ>=cuz 9350   RR+crp 9470   abscabs 10801   ~~> cli 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080

This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  11150