Theorem climrecvg1n 11659

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within C / n of the nth term, where C is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
climrecvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
climrecvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )

Assertion

Ref	Expression
climrecvg1n	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k, n   k, F, n   ph, k, n

Proof of Theorem climrecvg1n

Dummy variables e i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecvg1n.f	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> RR )
2		climrecvg1n.c	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
3		climrecvg1n.cau	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
4	3	r19.21bi 2594	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
5	4	r19.21bi 2594	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
6	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR )
7		eluznn 9721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
8	7	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
9	6, 8	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
10		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
11	6, 10	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
12	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR+ )
13	10	nnrpd 9816	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
14	12, 13	rpdivcld 9836	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR+ )
15	14	rpred 9818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR )
16	9, 11, 15	absdifltd 11489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) <-> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) ) )
17	5, 16	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
18	11, 15, 9	ltsubaddd 8614	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) ) )
19	18	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) ) )
20	17, 19	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
21	20	ralrimiva 2579	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
22	21	ralrimiva 2579	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
23	1, 2, 22	cvg1n 11297	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
24	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F : NN --> RR )
25	24	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> F : NN --> RR )
26		eluznn 9721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> j e. NN )
27	26	adantll 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> j e. NN )
28	25, 27	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> y e. RR )
31		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> e e. RR+ )
32	31	rpred 9818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> e e. RR )
33	28, 30, 32	absdifltd 11489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( ( y - e ) < ( F ` j ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
34	30, 32, 28	ltsubaddd 8614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( y - e ) < ( F ` j ) <-> y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
35	34	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( y - e ) < ( F ` j ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) <-> ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
36	33, 35	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
37		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) <-> ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
38	36, 37	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
39	38	ralbidva 2502	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
40	39	rexbidva 2503	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
41	40	ralbidva 2502	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
42		nnuz 9684	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43		1zzd 9399	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ )
44		nnex 9042	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
45	44	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> NN e. _V )
46		reex 8059	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
47	46	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> RR e. _V )
48		fex2 5444	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN --> RR /\ NN e. _V /\ RR e. _V ) -> F e. _V )
49	24, 45, 47, 48	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F e. _V )
50		eqidd 2206	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
51	29	recnd 8101	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
52	24	ffvelcdmda 5715	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
53	52	recnd 8101	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. CC )
54	42, 43, 49, 50, 51, 53	clim2c 11595	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ~~> y <-> A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e ) )
55		climrel 11591	. . . . . 6 |- Rel ~~>
56	55	releldmi 4917	. . . . 5 |- ( F ~~> y -> F e. dom ~~> )
57	54, 56	biimtrrdi 164	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e -> F e. dom ~~> ) )
58	41, 57	sylbird 170	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) -> F e. dom ~~> ) )
59	58	impr 379	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) ) -> F e. dom ~~> )
60	23, 59	rexlimddv 2628	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   _Vcvv 2772   class class class wbr 4044   dom cdm 4675   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   RRcr 7924   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   - cmin 8243   / cdiv 8745   NNcn 9036   ZZ>=cuz 9648   RR+crp 9775   abscabs 11308   ~~> cli 11589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590

This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  11660