ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climrecl Unicode version

Theorem climrecl 10773
Description: The limit of a convergent real sequence is real. Corollary 12-2.5 of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 10-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecl.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climrecl.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrecl.3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climrecl.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
climrecl  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    ph, k    k, Z    A, k

Proof of Theorem climrecl
StepHypRef Expression
1 climrecl.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
2 climcl 10731 . . 3  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 climrecl.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 climrel 10729 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
65brrelex1i 4494 . . . . . 6  |-  ( F  ~~>  A  ->  F  e.  _V )
71, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
8 climrecl.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 climrecl.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
109recnd 7577 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
11 rere 10360 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  e.  RR  ->  (
Re `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
1211eqcomd 2094 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  k )  =  ( Re `  ( F `  k ) ) )
139, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( Re `  ( F `  k ) ) )
144, 1, 7, 8, 10, 13climre 10771 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( Re `  A ) )
15 climuni 10742 . . . 4  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  ( Re `  A ) )  ->  A  =  ( Re `  A ) )
161, 14, 15syl2anc 404 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( Re
`  A ) )
1716eqcomd 2094 . 2  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  =  A )
183, 17rerebd 10440 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439   _Vcvv 2620   class class class wbr 3851   ` cfv 5028   CCcc 7409   RRcr 7410   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080   Recre 10335    ~~> cli 10727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-rp 9196  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728
This theorem is referenced by:  climge0  10774  climle  10783  climsqz  10784  climsqz2  10785  isumrecl  10884
  Copyright terms: Public domain W3C validator