Theorem climrecl 11298

Description: The limit of a convergent real sequence is real. Corollary 12-2.5 of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 10-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecl.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climrecl.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climrecl.3	|- ( ph -> F ~~> A )
climrecl.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
climrecl	|- ( ph -> A e. RR )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   ph, k   k, Z   A, k

Proof of Theorem climrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecl.3	. . 3 |- ( ph -> F ~~> A )
2		climcl 11256	. . 3 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
4		climrecl.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		climrel 11254	. . . . . . 7 |- Rel ~~>
6	5	brrelex1i 4663	. . . . . 6 |- ( F ~~> A -> F e. _V )
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. _V )
8		climrecl.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		climrecl.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
10	9	recnd 7960	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
11		rere 10840	. . . . . . 7 |- ( ( F ` k ) e. RR -> ( Re ` ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
12	11	eqcomd 2181	. . . . . 6 |- ( ( F ` k ) e. RR -> ( F ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
13	9, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
14	4, 1, 7, 8, 10, 13	climre 11296	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> ( Re ` A ) )
15		climuni 11267	. . . 4 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> ( Re ` A ) ) -> A = ( Re ` A ) )
16	1, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> A = ( Re ` A ) )
17	16	eqcomd 2181	. 2 |- ( ph -> ( Re ` A ) = A )
18	3, 17	rerebd 10920	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   class class class wbr 3998   ` cfv 5208   CCcc 7784   RRcr 7785   ZZcz 9224   ZZ>=cuz 9499   Recre 10815   ~~> cli 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-rp 9623  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253

This theorem is referenced by:  climge0  11299  climle  11308  climsqz  11309  climsqz2  11310  isumrecl  11403