Theorem climcvg1nlem 11860

Description: Lemma for climcvg1n 11861. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of F, show those converge, and use that to show that F converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> CC )
climcvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
climcvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
climcvg1nlem.g	|- G = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
climcvg1nlem.h	|- H = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
climcvg1nlem.j	|- J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcvg1nlem	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k, n   k, F, x   k, G, n   k, H, n, x   k, J   ph, k, n, x

Allowed substitution hints:   C( x)   F( n)   G( x)   J( x, n)

Proof of Theorem climcvg1nlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9758	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9473	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		climcvg1n.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> CC )
4	3	ffvelcdmda 5770	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. CC )
5	4	recld 11449	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( Re ` ( F ` x ) ) e. RR )
6		climcvg1nlem.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
7	5, 6	fmptd 5789	. . . . 5 |- ( ph -> G : NN --> RR )
8		climcvg1n.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR+ )
9		climcvg1n.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
10		eluznn 9795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
11	10	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
12	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> CC )
13	12, 11	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
14	13	recld 11449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR )
15		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
16	15	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> ( Re ` ( F ` x ) ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
17	16, 6	fvmptg 5710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
18	11, 14, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
20	12, 19	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
21	20	recld 11449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( F ` n ) ) e. RR )
22		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) )
23	22	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( Re ` ( F ` x ) ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
24	23, 6	fvmptg 5710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( Re ` ( F ` n ) ) e. RR ) -> ( G ` n ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
25	19, 21, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
26	18, 25	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` n ) ) ) )
27	13, 20	resubd 11472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` n ) ) ) )
28	26, 27	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) = ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
29	28	fveq2d 5631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) = ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) )
30	13, 20	subcld 8457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC )
31		absrele 11594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
33	29, 32	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
34	30	recld 11449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR )
35	34	recnd 8175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. CC )
36	28, 35	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) e. CC )
37	36	abscld 11692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) e. RR )
38	30	abscld 11692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR )
39	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR+ )
40	19	nnrpd 9890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
41	39, 40	rpdivcld 9910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR+ )
42	41	rpred 9892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR )
43		lelttr 8235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( C / n ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
44	37, 38, 42, 43	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
45	33, 44	mpand 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
46	45	ralimdva 2597	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
47	46	ralimdva 2597	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
48	9, 47	mpd 13	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) )
49	7, 8, 48	climrecvg1n 11859	. . . 4 |- ( ph -> G e. dom ~~> )
50		climdm 11806	. . . 4 |- ( G e. dom ~~> <-> G ~~> ( ~~> ` G ) )
51	49, 50	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> G ~~> ( ~~> ` G ) )
52		nnex 9116	. . . 4 |- NN e. _V
53		fex 5868	. . . 4 |- ( ( F : NN --> CC /\ NN e. _V ) -> F e. _V )
54	3, 52, 53	sylancl 413	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
55	4	imcld 11450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( Im ` ( F ` x ) ) e. RR )
56		climcvg1nlem.h	. . . . . . 7 |- H = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
57	55, 56	fmptd 5789	. . . . . 6 |- ( ph -> H : NN --> RR )
58	13	imcld 11450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR )
59	15	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( Im ` ( F ` x ) ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
60	59, 56	fvmptg 5710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
61	11, 58, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
62	20	imcld 11450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( F ` n ) ) e. RR )
63	22	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = n -> ( Im ` ( F ` x ) ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
64	63, 56	fvmptg 5710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ ( Im ` ( F ` n ) ) e. RR ) -> ( H ` n ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
65	19, 62, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` n ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
66	61, 65	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) = ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` n ) ) ) )
67	13, 20	imsubd 11473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) = ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` n ) ) ) )
68	66, 67	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) = ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
69	68	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) )
70		absimle 11595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
71	30, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
72	69, 71	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
73	61, 58	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` k ) e. RR )
74	65, 62	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` n ) e. RR )
75	73, 74	resubcld 8527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) e. RR )
76	75	recnd 8175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) e. CC )
77	76	abscld 11692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) e. RR )
78		lelttr 8235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( C / n ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
79	77, 38, 42, 78	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
80	72, 79	mpand 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
81	80	ralimdva 2597	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
82	81	ralimdva 2597	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
83	9, 82	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) )
84	57, 8, 83	climrecvg1n 11859	. . . . 5 |- ( ph -> H e. dom ~~> )
85		climdm 11806	. . . . 5 |- ( H e. dom ~~> <-> H ~~> ( ~~> ` H ) )
86	84, 85	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> H ~~> ( ~~> ` H ) )
87		ax-icn 8094	. . . . 5 |- _i e. CC
88	87	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> _i e. CC )
89		climcvg1nlem.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) )
90	52	mptex 5865	. . . . . 6 |- ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) ) e. _V
91	89, 90	eqeltri 2302	. . . . 5 |- J e. _V
92	91	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> J e. _V )
93		ax-resscn 8091	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
94	93	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
95	57, 94	fssd 5486	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN --> CC )
96	95	ffvelcdmda 5770	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` k ) e. CC )
97	89	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) ) )
98		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( H ` x ) = ( H ` k ) )
99	98	oveq2d 6017	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( _i x. ( H ` x ) ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
100	99	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x = k ) -> ( _i x. ( H ` x ) ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
101		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
102	87	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> _i e. CC )
103	102, 96	mulcld 8167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( _i x. ( H ` k ) ) e. CC )
104	97, 100, 101, 103	fvmptd 5715	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
105	1, 2, 86, 88, 92, 96, 104	climmulc2 11842	. . 3 |- ( ph -> J ~~> ( _i x. ( ~~> ` H ) ) )
106	7	ffvelcdmda 5770	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
107	106	recnd 8175	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
108	104, 103	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) e. CC )
109	3	ffvelcdmda 5770	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
110	109	replimd 11452	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) ) )
111	109	recld 11449	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR )
112	101, 111, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
113	109	imcld 11450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR )
114	101, 113, 60	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
115	114	oveq2d 6017	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( _i x. ( H ` k ) ) = ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) )
116	104, 115	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) = ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) )
117	112, 116	oveq12d 6019	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) + ( J ` k ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) ) )
118	110, 117	eqtr4d 2265	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( ( G ` k ) + ( J ` k ) ) )
119	1, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118	climadd 11837	. 2 |- ( ph -> F ~~> ( ( ~~> ` G ) + ( _i x. ( ~~> ` H ) ) ) )
120		climrel 11791	. . 3 |- Rel ~~>
121	120	releldmi 4963	. 2 |- ( F ~~> ( ( ~~> ` G ) + ( _i x. ( ~~> ` H ) ) ) -> F e. dom ~~> )
122	119, 121	syl 14	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   dom cdm 4719   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   1c1 8000   _ici 8001   + caddc 8002   x. cmul 8004   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   / cdiv 8819   NNcn 9110   ZZ>=cuz 9722   RR+crp 9849   Recre 11351   Imcim 11352   abscabs 11508   ~~> cli 11789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-rp 9850  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790

This theorem is referenced by:  climcvg1n  11861