Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcvg1nlem Unicode version

Theorem climcvg1nlem 11179
 Description: Lemma for climcvg1n 11180. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of , show those converge, and use that to show that converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f
climcvg1n.c
climcvg1n.cau
climcvg1nlem.g
climcvg1nlem.h
climcvg1nlem.j
Assertion
Ref Expression
climcvg1nlem
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,)

Proof of Theorem climcvg1nlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 9414 . . 3
2 1zzd 9134 . . 3
3 climcvg1n.f . . . . . . . 8
43ffvelrnda 5567 . . . . . . 7
54recld 10771 . . . . . 6
6 climcvg1nlem.g . . . . . 6
75, 6fmptd 5586 . . . . 5
8 climcvg1n.c . . . . 5
9 climcvg1n.cau . . . . . 6
10 eluznn 9450 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110adantll 468 . . . . . . . . . . . . . 14
123ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312, 11ffvelrnd 5568 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413recld 10771 . . . . . . . . . . . . . 14
15 fveq2 5433 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1615fveq2d 5437 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716, 6fvmptg 5509 . . . . . . . . . . . . . 14
1811, 14, 17syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13
19 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . 14
2012, 19ffvelrnd 5568 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120recld 10771 . . . . . . . . . . . . . 14
22 fveq2 5433 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322fveq2d 5437 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423, 6fvmptg 5509 . . . . . . . . . . . . . 14
2519, 21, 24syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13
2618, 25oveq12d 5804 . . . . . . . . . . . 12
2713, 20resubd 10794 . . . . . . . . . . . 12
2826, 27eqtr4d 2177 . . . . . . . . . . 11
2928fveq2d 5437 . . . . . . . . . 10
3013, 20subcld 8126 . . . . . . . . . . 11
31 absrele 10916 . . . . . . . . . . 11
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10
3329, 32eqbrtrd 3960 . . . . . . . . 9
3430recld 10771 . . . . . . . . . . . . 13
3534recnd 7847 . . . . . . . . . . . 12
3628, 35eqeltrd 2218 . . . . . . . . . . 11
3736abscld 11014 . . . . . . . . . 10
3830abscld 11014 . . . . . . . . . 10
398ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12
4019nnrpd 9540 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40rpdivcld 9560 . . . . . . . . . . 11
4241rpred 9542 . . . . . . . . . 10
43 lelttr 7905 . . . . . . . . . 10
4437, 38, 42, 43syl3anc 1217 . . . . . . . . 9
4533, 44mpand 426 . . . . . . . 8
4645ralimdva 2504 . . . . . . 7
4746ralimdva 2504 . . . . . 6
489, 47mpd 13 . . . . 5
497, 8, 48climrecvg1n 11178 . . . 4
50 climdm 11125 . . . 4
5149, 50sylib 121 . . 3
52 nnex 8779 . . . 4
53 fex 5659 . . . 4
543, 52, 53sylancl 410 . . 3
554imcld 10772 . . . . . . 7
56 climcvg1nlem.h . . . . . . 7
5755, 56fmptd 5586 . . . . . 6
5813imcld 10772 . . . . . . . . . . . . . . 15
5915fveq2d 5437 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059, 56fvmptg 5509 . . . . . . . . . . . . . . 15
6111, 58, 60syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14
6220imcld 10772 . . . . . . . . . . . . . . 15
6322fveq2d 5437 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463, 56fvmptg 5509 . . . . . . . . . . . . . . 15
6519, 62, 64syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14
6661, 65oveq12d 5804 . . . . . . . . . . . . 13
6713, 20imsubd 10795 . . . . . . . . . . . . 13
6866, 67eqtr4d 2177 . . . . . . . . . . . 12
6968fveq2d 5437 . . . . . . . . . . 11
70 absimle 10917 . . . . . . . . . . . 12
7130, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11
7269, 71eqbrtrd 3960 . . . . . . . . . 10
7361, 58eqeltrd 2218 . . . . . . . . . . . . . 14
7465, 62eqeltrd 2218 . . . . . . . . . . . . . 14
7573, 74resubcld 8196 . . . . . . . . . . . . 13
7675recnd 7847 . . . . . . . . . . . 12
7776abscld 11014 . . . . . . . . . . 11
78 lelttr 7905 . . . . . . . . . . 11
7977, 38, 42, 78syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10
8072, 79mpand 426 . . . . . . . . 9
8180ralimdva 2504 . . . . . . . 8
8281ralimdva 2504 . . . . . . 7
839, 82mpd 13 . . . . . 6
8457, 8, 83climrecvg1n 11178 . . . . 5
85 climdm 11125 . . . . 5
8684, 85sylib 121 . . . 4
87 ax-icn 7768 . . . . 5
8887a1i 9 . . . 4
89 climcvg1nlem.j . . . . . 6
9052mptex 5658 . . . . . 6
9189, 90eqeltri 2214 . . . . 5
9291a1i 9 . . . 4
93 ax-resscn 7765 . . . . . . 7
9493a1i 9 . . . . . 6
9557, 94fssd 5297 . . . . 5
9695ffvelrnda 5567 . . . 4
9789a1i 9 . . . . 5
98 fveq2 5433 . . . . . . 7
9998oveq2d 5802 . . . . . 6
10099adantl 275 . . . . 5
101 simpr 109 . . . . 5
10287a1i 9 . . . . . 6
103102, 96mulcld 7839 . . . . 5
10497, 100, 101, 103fvmptd 5514 . . . 4
1051, 2, 86, 88, 92, 96, 104climmulc2 11161 . . 3
1067ffvelrnda 5567 . . . 4
107106recnd 7847 . . 3
108104, 103eqeltrd 2218 . . 3
1093ffvelrnda 5567 . . . . 5
110109replimd 10774 . . . 4
111109recld 10771 . . . . . 6
112101, 111, 17syl2anc 409 . . . . 5
113109imcld 10772 . . . . . . . 8
114101, 113, 60syl2anc 409 . . . . . . 7
115114oveq2d 5802 . . . . . 6
116104, 115eqtrd 2174 . . . . 5
117112, 116oveq12d 5804 . . . 4
118110, 117eqtr4d 2177 . . 3
1191, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118climadd 11156 . 2
120 climrel 11110 . . 3
121120releldmi 4790 . 2
122119, 121syl 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1332   wcel 1481  wral 2418  cvv 2691   wss 3078   class class class wbr 3939   cmpt 3999   cdm 4551  wf 5131  cfv 5135  (class class class)co 5786  cc 7671  cr 7672  c1 7674  ci 7675   caddc 7676   cmul 7678   clt 7853   cle 7854   cmin 7986   cdiv 8485  cn 8773  cuz 9379  crp 9499  cre 10673  cim 10674  cabs 10830   cli 11108 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1738  df-eu 2004  df-mo 2005  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-frec 6300  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-rp 9500  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-clim 11109 This theorem is referenced by:  climcvg1n  11180
 Copyright terms: Public domain W3C validator