Theorem climcvg1nlem 11775

Description: Lemma for climcvg1n 11776. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of F, show those converge, and use that to show that F converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> CC )
climcvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
climcvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
climcvg1nlem.g	|- G = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
climcvg1nlem.h	|- H = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
climcvg1nlem.j	|- J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcvg1nlem	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k, n   k, F, x   k, G, n   k, H, n, x   k, J   ph, k, n, x

Allowed substitution hints:   C( x)   F( n)   G( x)   J( x, n)

Proof of Theorem climcvg1nlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9719	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9434	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		climcvg1n.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> CC )
4	3	ffvelcdmda 5738	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. CC )
5	4	recld 11364	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( Re ` ( F ` x ) ) e. RR )
6		climcvg1nlem.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
7	5, 6	fmptd 5757	. . . . 5 |- ( ph -> G : NN --> RR )
8		climcvg1n.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR+ )
9		climcvg1n.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
10		eluznn 9756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
11	10	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
12	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> CC )
13	12, 11	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
14	13	recld 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR )
15		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
16	15	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> ( Re ` ( F ` x ) ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
17	16, 6	fvmptg 5678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
18	11, 14, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
20	12, 19	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
21	20	recld 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( F ` n ) ) e. RR )
22		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) )
23	22	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( Re ` ( F ` x ) ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
24	23, 6	fvmptg 5678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( Re ` ( F ` n ) ) e. RR ) -> ( G ` n ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
25	19, 21, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
26	18, 25	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` n ) ) ) )
27	13, 20	resubd 11387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` n ) ) ) )
28	26, 27	eqtr4d 2243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) = ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
29	28	fveq2d 5603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) = ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) )
30	13, 20	subcld 8418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC )
31		absrele 11509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
33	29, 32	eqbrtrd 4081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
34	30	recld 11364	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR )
35	34	recnd 8136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. CC )
36	28, 35	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) e. CC )
37	36	abscld 11607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) e. RR )
38	30	abscld 11607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR )
39	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR+ )
40	19	nnrpd 9851	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
41	39, 40	rpdivcld 9871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR+ )
42	41	rpred 9853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR )
43		lelttr 8196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( C / n ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
44	37, 38, 42, 43	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
45	33, 44	mpand 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
46	45	ralimdva 2575	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
47	46	ralimdva 2575	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
48	9, 47	mpd 13	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) )
49	7, 8, 48	climrecvg1n 11774	. . . 4 |- ( ph -> G e. dom ~~> )
50		climdm 11721	. . . 4 |- ( G e. dom ~~> <-> G ~~> ( ~~> ` G ) )
51	49, 50	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> G ~~> ( ~~> ` G ) )
52		nnex 9077	. . . 4 |- NN e. _V
53		fex 5836	. . . 4 |- ( ( F : NN --> CC /\ NN e. _V ) -> F e. _V )
54	3, 52, 53	sylancl 413	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
55	4	imcld 11365	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( Im ` ( F ` x ) ) e. RR )
56		climcvg1nlem.h	. . . . . . 7 |- H = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
57	55, 56	fmptd 5757	. . . . . 6 |- ( ph -> H : NN --> RR )
58	13	imcld 11365	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR )
59	15	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( Im ` ( F ` x ) ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
60	59, 56	fvmptg 5678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
61	11, 58, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
62	20	imcld 11365	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( F ` n ) ) e. RR )
63	22	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = n -> ( Im ` ( F ` x ) ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
64	63, 56	fvmptg 5678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ ( Im ` ( F ` n ) ) e. RR ) -> ( H ` n ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
65	19, 62, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` n ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
66	61, 65	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) = ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` n ) ) ) )
67	13, 20	imsubd 11388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) = ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` n ) ) ) )
68	66, 67	eqtr4d 2243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) = ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
69	68	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) )
70		absimle 11510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
71	30, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
72	69, 71	eqbrtrd 4081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
73	61, 58	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` k ) e. RR )
74	65, 62	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` n ) e. RR )
75	73, 74	resubcld 8488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) e. RR )
76	75	recnd 8136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) e. CC )
77	76	abscld 11607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) e. RR )
78		lelttr 8196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( C / n ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
79	77, 38, 42, 78	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
80	72, 79	mpand 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
81	80	ralimdva 2575	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
82	81	ralimdva 2575	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
83	9, 82	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) )
84	57, 8, 83	climrecvg1n 11774	. . . . 5 |- ( ph -> H e. dom ~~> )
85		climdm 11721	. . . . 5 |- ( H e. dom ~~> <-> H ~~> ( ~~> ` H ) )
86	84, 85	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> H ~~> ( ~~> ` H ) )
87		ax-icn 8055	. . . . 5 |- _i e. CC
88	87	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> _i e. CC )
89		climcvg1nlem.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) )
90	52	mptex 5833	. . . . . 6 |- ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) ) e. _V
91	89, 90	eqeltri 2280	. . . . 5 |- J e. _V
92	91	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> J e. _V )
93		ax-resscn 8052	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
94	93	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
95	57, 94	fssd 5458	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN --> CC )
96	95	ffvelcdmda 5738	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` k ) e. CC )
97	89	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) ) )
98		fveq2 5599	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( H ` x ) = ( H ` k ) )
99	98	oveq2d 5983	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( _i x. ( H ` x ) ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
100	99	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x = k ) -> ( _i x. ( H ` x ) ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
101		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
102	87	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> _i e. CC )
103	102, 96	mulcld 8128	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( _i x. ( H ` k ) ) e. CC )
104	97, 100, 101, 103	fvmptd 5683	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
105	1, 2, 86, 88, 92, 96, 104	climmulc2 11757	. . 3 |- ( ph -> J ~~> ( _i x. ( ~~> ` H ) ) )
106	7	ffvelcdmda 5738	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
107	106	recnd 8136	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
108	104, 103	eqeltrd 2284	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) e. CC )
109	3	ffvelcdmda 5738	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
110	109	replimd 11367	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) ) )
111	109	recld 11364	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR )
112	101, 111, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
113	109	imcld 11365	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR )
114	101, 113, 60	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
115	114	oveq2d 5983	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( _i x. ( H ` k ) ) = ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) )
116	104, 115	eqtrd 2240	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) = ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) )
117	112, 116	oveq12d 5985	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) + ( J ` k ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) ) )
118	110, 117	eqtr4d 2243	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( ( G ` k ) + ( J ` k ) ) )
119	1, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118	climadd 11752	. 2 |- ( ph -> F ~~> ( ( ~~> ` G ) + ( _i x. ( ~~> ` H ) ) ) )
120		climrel 11706	. . 3 |- Rel ~~>
121	120	releldmi 4936	. 2 |- ( F ~~> ( ( ~~> ` G ) + ( _i x. ( ~~> ` H ) ) ) -> F e. dom ~~> )
122	119, 121	syl 14	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   dom cdm 4693   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   1c1 7961   _ici 7962   + caddc 7963   x. cmul 7965   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   / cdiv 8780   NNcn 9071   ZZ>=cuz 9683   RR+crp 9810   Recre 11266   Imcim 11267   abscabs 11423   ~~> cli 11704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705

This theorem is referenced by:  climcvg1n  11776