Theorem climcvg1nlem 11909

Description: Lemma for climcvg1n 11910. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of F, show those converge, and use that to show that F converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> CC )
climcvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
climcvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
climcvg1nlem.g	|- G = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
climcvg1nlem.h	|- H = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
climcvg1nlem.j	|- J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcvg1nlem	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k, n   k, F, x   k, G, n   k, H, n, x   k, J   ph, k, n, x

Allowed substitution hints:   C( x)   F( n)   G( x)   J( x, n)

Proof of Theorem climcvg1nlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9791	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9505	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		climcvg1n.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> CC )
4	3	ffvelcdmda 5782	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. CC )
5	4	recld 11498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( Re ` ( F ` x ) ) e. RR )
6		climcvg1nlem.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
7	5, 6	fmptd 5801	. . . . 5 |- ( ph -> G : NN --> RR )
8		climcvg1n.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR+ )
9		climcvg1n.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
10		eluznn 9833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
11	10	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
12	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> CC )
13	12, 11	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
14	13	recld 11498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR )
15		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
16	15	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> ( Re ` ( F ` x ) ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
17	16, 6	fvmptg 5722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
18	11, 14, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
19		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
20	12, 19	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
21	20	recld 11498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( F ` n ) ) e. RR )
22		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) )
23	22	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( Re ` ( F ` x ) ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
24	23, 6	fvmptg 5722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( Re ` ( F ` n ) ) e. RR ) -> ( G ` n ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
25	19, 21, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
26	18, 25	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` n ) ) ) )
27	13, 20	resubd 11521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` n ) ) ) )
28	26, 27	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) = ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
29	28	fveq2d 5643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) = ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) )
30	13, 20	subcld 8489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC )
31		absrele 11643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
33	29, 32	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
34	30	recld 11498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR )
35	34	recnd 8207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. CC )
36	28, 35	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) e. CC )
37	36	abscld 11741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) e. RR )
38	30	abscld 11741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR )
39	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR+ )
40	19	nnrpd 9928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
41	39, 40	rpdivcld 9948	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR+ )
42	41	rpred 9930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR )
43		lelttr 8267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( C / n ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
44	37, 38, 42, 43	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
45	33, 44	mpand 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
46	45	ralimdva 2599	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
47	46	ralimdva 2599	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
48	9, 47	mpd 13	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) )
49	7, 8, 48	climrecvg1n 11908	. . . 4 |- ( ph -> G e. dom ~~> )
50		climdm 11855	. . . 4 |- ( G e. dom ~~> <-> G ~~> ( ~~> ` G ) )
51	49, 50	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> G ~~> ( ~~> ` G ) )
52		nnex 9148	. . . 4 |- NN e. _V
53		fex 5882	. . . 4 |- ( ( F : NN --> CC /\ NN e. _V ) -> F e. _V )
54	3, 52, 53	sylancl 413	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
55	4	imcld 11499	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( Im ` ( F ` x ) ) e. RR )
56		climcvg1nlem.h	. . . . . . 7 |- H = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
57	55, 56	fmptd 5801	. . . . . 6 |- ( ph -> H : NN --> RR )
58	13	imcld 11499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR )
59	15	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( Im ` ( F ` x ) ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
60	59, 56	fvmptg 5722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
61	11, 58, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
62	20	imcld 11499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( F ` n ) ) e. RR )
63	22	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = n -> ( Im ` ( F ` x ) ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
64	63, 56	fvmptg 5722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ ( Im ` ( F ` n ) ) e. RR ) -> ( H ` n ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
65	19, 62, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` n ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
66	61, 65	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) = ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` n ) ) ) )
67	13, 20	imsubd 11522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) = ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` n ) ) ) )
68	66, 67	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) = ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
69	68	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) )
70		absimle 11644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
71	30, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
72	69, 71	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
73	61, 58	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` k ) e. RR )
74	65, 62	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` n ) e. RR )
75	73, 74	resubcld 8559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) e. RR )
76	75	recnd 8207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) e. CC )
77	76	abscld 11741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) e. RR )
78		lelttr 8267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( C / n ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
79	77, 38, 42, 78	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
80	72, 79	mpand 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
81	80	ralimdva 2599	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
82	81	ralimdva 2599	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
83	9, 82	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) )
84	57, 8, 83	climrecvg1n 11908	. . . . 5 |- ( ph -> H e. dom ~~> )
85		climdm 11855	. . . . 5 |- ( H e. dom ~~> <-> H ~~> ( ~~> ` H ) )
86	84, 85	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> H ~~> ( ~~> ` H ) )
87		ax-icn 8126	. . . . 5 |- _i e. CC
88	87	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> _i e. CC )
89		climcvg1nlem.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) )
90	52	mptex 5879	. . . . . 6 |- ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) ) e. _V
91	89, 90	eqeltri 2304	. . . . 5 |- J e. _V
92	91	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> J e. _V )
93		ax-resscn 8123	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
94	93	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
95	57, 94	fssd 5495	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN --> CC )
96	95	ffvelcdmda 5782	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` k ) e. CC )
97	89	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) ) )
98		fveq2 5639	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( H ` x ) = ( H ` k ) )
99	98	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( _i x. ( H ` x ) ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
100	99	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x = k ) -> ( _i x. ( H ` x ) ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
101		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
102	87	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> _i e. CC )
103	102, 96	mulcld 8199	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( _i x. ( H ` k ) ) e. CC )
104	97, 100, 101, 103	fvmptd 5727	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
105	1, 2, 86, 88, 92, 96, 104	climmulc2 11891	. . 3 |- ( ph -> J ~~> ( _i x. ( ~~> ` H ) ) )
106	7	ffvelcdmda 5782	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
107	106	recnd 8207	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
108	104, 103	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) e. CC )
109	3	ffvelcdmda 5782	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
110	109	replimd 11501	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) ) )
111	109	recld 11498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR )
112	101, 111, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
113	109	imcld 11499	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR )
114	101, 113, 60	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
115	114	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( _i x. ( H ` k ) ) = ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) )
116	104, 115	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) = ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) )
117	112, 116	oveq12d 6035	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) + ( J ` k ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) ) )
118	110, 117	eqtr4d 2267	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( ( G ` k ) + ( J ` k ) ) )
119	1, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118	climadd 11886	. 2 |- ( ph -> F ~~> ( ( ~~> ` G ) + ( _i x. ( ~~> ` H ) ) ) )
120		climrel 11840	. . 3 |- Rel ~~>
121	120	releldmi 4971	. 2 |- ( F ~~> ( ( ~~> ` G ) + ( _i x. ( ~~> ` H ) ) ) -> F e. dom ~~> )
122	119, 121	syl 14	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   1c1 8032   _ici 8033   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   / cdiv 8851   NNcn 9142   ZZ>=cuz 9754   RR+crp 9887   Recre 11400   Imcim 11401   abscabs 11557   ~~> cli 11838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839

This theorem is referenced by:  climcvg1n  11910