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Theorem climcvg1nlem 11086
Description: Lemma for climcvg1n 11087. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of  F, show those converge, and use that to show that  F converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
climcvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
climcvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
climcvg1nlem.g  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )
climcvg1nlem.h  |-  H  =  ( x  e.  NN  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )
climcvg1nlem.j  |-  J  =  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( H `  x )
) )
Assertion
Ref Expression
climcvg1nlem  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    C, k, n   
k, F, x    k, G, n    k, H, n, x    k, J    ph, k, n, x
Allowed substitution hints:    C( x)    F( n)    G( x)    J( x, n)

Proof of Theorem climcvg1nlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 9329 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 9049 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 climcvg1n.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
43ffvelrnda 5523 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( F `
 x )  e.  CC )
54recld 10678 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( F `  x ) )  e.  RR )
6 climcvg1nlem.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )
75, 6fmptd 5542 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : NN --> RR )
8 climcvg1n.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
9 climcvg1n.cau . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
10 eluznn 9362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
1110adantll 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
123ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> CC )
1312, 11ffvelrnd 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1413recld 10678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Re `  ( F `  k
) )  e.  RR )
15 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
1615fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  =  ( Re `  ( F `  k )
) )
1716, 6fvmptg 5465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( Re `  ( F `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( G `  k
)  =  ( Re
`  ( F `  k ) ) )
1811, 14, 17syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  =  ( Re `  ( F `
 k ) ) )
19 simplr 504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
2012, 19ffvelrnd 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  CC )
2120recld 10678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Re `  ( F `  n
) )  e.  RR )
22 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  n  ->  ( F `  x )  =  ( F `  n ) )
2322fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  n  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  =  ( Re `  ( F `  n )
) )
2423, 6fvmptg 5465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( Re `  ( F `
 n ) )  e.  RR )  -> 
( G `  n
)  =  ( Re
`  ( F `  n ) ) )
2519, 21, 24syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  =  ( Re `  ( F `
 n ) ) )
2618, 25oveq12d 5760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  -  ( G `  n ) )  =  ( ( Re `  ( F `  k ) )  -  ( Re
`  ( F `  n ) ) ) )
2713, 20resubd 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  =  ( ( Re `  ( F `  k )
)  -  ( Re
`  ( F `  n ) ) ) )
2826, 27eqtr4d 2153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  -  ( G `  n ) )  =  ( Re `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )
2928fveq2d 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n )
) )  =  ( abs `  ( Re
`  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) ) )
3013, 20subcld 8041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( F `  n ) )  e.  CC )
31 absrele 10823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 n ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( Re `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) )
3329, 32eqbrtrd 3920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n )
) )  <_  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) )
3430recld 10678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  e.  RR )
3534recnd 7762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  e.  CC )
3628, 35eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  -  ( G `  n ) )  e.  CC )
3736abscld 10921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n )
) )  e.  RR )
3830abscld 10921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  e.  RR )
398ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  C  e.  RR+ )
4019nnrpd 9450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
4139, 40rpdivcld 9469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  n )  e.  RR+ )
4241rpred 9451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  n )  e.  RR )
43 lelttr 7820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n ) ) )  e.  RR  /\  ( C  /  n )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
4437, 38, 42, 43syl3anc 1201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
4533, 44mpand 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n )  -> 
( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
4645ralimdva 2476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
4746ralimdva 2476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) )  <  ( C  /  n )  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n )
) )  <  ( C  /  n ) ) )
489, 47mpd 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
497, 8, 48climrecvg1n 11085 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~>  )
50 climdm 11032 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  ~~>  <->  G  ~~>  (  ~~>  `  G
) )
5149, 50sylib 121 . . 3  |-  ( ph  ->  G  ~~>  (  ~~>  `  G
) )
52 nnex 8694 . . . 4  |-  NN  e.  _V
53 fex 5615 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  NN  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
543, 52, 53sylancl 409 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
554imcld 10679 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( Im
`  ( F `  x ) )  e.  RR )
56 climcvg1nlem.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( x  e.  NN  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )
5755, 56fmptd 5542 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : NN --> RR )
5813imcld 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Im `  ( F `  k
) )  e.  RR )
5915fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  =  ( Im `  ( F `  k )
) )
6059, 56fvmptg 5465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( Im `  ( F `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( H `  k
)  =  ( Im
`  ( F `  k ) ) )
6111, 58, 60syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( H `  k )  =  ( Im `  ( F `
 k ) ) )
6220imcld 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Im `  ( F `  n
) )  e.  RR )
6322fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  n  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  =  ( Im `  ( F `  n )
) )
6463, 56fvmptg 5465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( Im `  ( F `
 n ) )  e.  RR )  -> 
( H `  n
)  =  ( Im
`  ( F `  n ) ) )
6519, 62, 64syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( H `  n )  =  ( Im `  ( F `
 n ) ) )
6661, 65oveq12d 5760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( H `  k )  -  ( H `  n ) )  =  ( ( Im `  ( F `  k ) )  -  ( Im
`  ( F `  n ) ) ) )
6713, 20imsubd 10702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Im `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  =  ( ( Im `  ( F `  k )
)  -  ( Im
`  ( F `  n ) ) ) )
6866, 67eqtr4d 2153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( H `  k )  -  ( H `  n ) )  =  ( Im `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )
6968fveq2d 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n )
) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) ) )
70 absimle 10824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 n ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )
7130, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( Im `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) )
7269, 71eqbrtrd 3920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n )
) )  <_  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) )
7361, 58eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( H `  k )  e.  RR )
7465, 62eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( H `  n )  e.  RR )
7573, 74resubcld 8111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( H `  k )  -  ( H `  n ) )  e.  RR )
7675recnd 7762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( H `  k )  -  ( H `  n ) )  e.  CC )
7776abscld 10921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n )
) )  e.  RR )
78 lelttr 7820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n ) ) )  e.  RR  /\  ( C  /  n )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) )  ->  ( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
7977, 38, 42, 78syl3anc 1201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) )  ->  ( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
8072, 79mpand 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n )  -> 
( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
8180ralimdva 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
8281ralimdva 2476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) )  <  ( C  /  n )  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n )
) )  <  ( C  /  n ) ) )
839, 82mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
8457, 8, 83climrecvg1n 11085 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  dom  ~~>  )
85 climdm 11032 . . . . 5  |-  ( H  e.  dom  ~~>  <->  H  ~~>  (  ~~>  `  H
) )
8684, 85sylib 121 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  ~~>  (  ~~>  `  H
) )
87 ax-icn 7683 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
8887a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
89 climcvg1nlem.j . . . . . 6  |-  J  =  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( H `  x )
) )
9052mptex 5614 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( H `  x ) ) )  e.  _V
9189, 90eqeltri 2190 . . . . 5  |-  J  e. 
_V
9291a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
93 ax-resscn 7680 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
9493a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
9557, 94fssd 5255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN --> CC )
9695ffvelrnda 5523 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  e.  CC )
9789a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  J  =  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( H `  x )
) ) )
98 fveq2 5389 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( H `  x )  =  ( H `  k ) )
9998oveq2d 5758 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
_i  x.  ( H `  x ) )  =  ( _i  x.  ( H `  k )
) )
10099adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  =  k )  -> 
( _i  x.  ( H `  x )
)  =  ( _i  x.  ( H `  k ) ) )
101 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
10287a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  _i  e.  CC )
103102, 96mulcld 7754 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( _i  x.  ( H `  k ) )  e.  CC )
10497, 100, 101, 103fvmptd 5470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `
 k )  =  ( _i  x.  ( H `  k )
) )
1051, 2, 86, 88, 92, 96, 104climmulc2 11068 . . 3  |-  ( ph  ->  J  ~~>  ( _i  x.  ( 
~~>  `  H ) ) )
1067ffvelrnda 5523 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
107106recnd 7762 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  CC )
108104, 103eqeltrd 2194 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `
 k )  e.  CC )
1093ffvelrnda 5523 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
110109replimd 10681 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( ( Re `  ( F `  k ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( F `  k ) ) ) ) )
111109recld 10678 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( F `  k ) )  e.  RR )
112101, 111, 17syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( Re `  ( F `  k )
) )
113109imcld 10679 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Im
`  ( F `  k ) )  e.  RR )
114101, 113, 60syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  =  ( Im `  ( F `  k )
) )
115114oveq2d 5758 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( _i  x.  ( H `  k ) )  =  ( _i  x.  (
Im `  ( F `  k ) ) ) )
116104, 115eqtrd 2150 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `
 k )  =  ( _i  x.  (
Im `  ( F `  k ) ) ) )
117112, 116oveq12d 5760 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k )  +  ( J `  k ) )  =  ( ( Re `  ( F `  k ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( F `  k ) ) ) ) )
118110, 117eqtr4d 2153 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( ( G `  k )  +  ( J `  k ) ) )
1191, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118climadd 11063 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( (  ~~>  `  G
)  +  ( _i  x.  (  ~~>  `  H
) ) ) )
120 climrel 11017 . . 3  |-  Rel  ~~>
121120releldmi 4748 . 2  |-  ( F  ~~>  ( (  ~~>  `  G
)  +  ( _i  x.  (  ~~>  `  H
) ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
122119, 121syl 14 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   _Vcvv 2660    C_ wss 3041   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959   dom cdm 4509   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   1c1 7589   _ici 7590    + caddc 7591    x. cmul 7593    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901    / cdiv 8400   NNcn 8688   ZZ>=cuz 9294   RR+crp 9409   Recre 10580   Imcim 10581   abscabs 10737    ~~> cli 11015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016
This theorem is referenced by:  climcvg1n  11087
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