Theorem climcvg1nlem 11693

Description: Lemma for climcvg1n 11694. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of F, show those converge, and use that to show that F converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> CC )
climcvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
climcvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
climcvg1nlem.g	|- G = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
climcvg1nlem.h	|- H = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
climcvg1nlem.j	|- J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcvg1nlem	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k, n   k, F, x   k, G, n   k, H, n, x   k, J   ph, k, n, x

Allowed substitution hints:   C( x)   F( n)   G( x)   J( x, n)

Proof of Theorem climcvg1nlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9686	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9401	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		climcvg1n.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> CC )
4	3	ffvelcdmda 5717	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. CC )
5	4	recld 11282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( Re ` ( F ` x ) ) e. RR )
6		climcvg1nlem.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
7	5, 6	fmptd 5736	. . . . 5 |- ( ph -> G : NN --> RR )
8		climcvg1n.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR+ )
9		climcvg1n.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
10		eluznn 9723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
11	10	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
12	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> CC )
13	12, 11	ffvelcdmd 5718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
14	13	recld 11282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR )
15		fveq2 5578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
16	15	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> ( Re ` ( F ` x ) ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
17	16, 6	fvmptg 5657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
18	11, 14, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
20	12, 19	ffvelcdmd 5718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
21	20	recld 11282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( F ` n ) ) e. RR )
22		fveq2 5578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) )
23	22	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( Re ` ( F ` x ) ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
24	23, 6	fvmptg 5657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( Re ` ( F ` n ) ) e. RR ) -> ( G ` n ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
25	19, 21, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
26	18, 25	oveq12d 5964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` n ) ) ) )
27	13, 20	resubd 11305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` n ) ) ) )
28	26, 27	eqtr4d 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) = ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
29	28	fveq2d 5582	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) = ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) )
30	13, 20	subcld 8385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC )
31		absrele 11427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
33	29, 32	eqbrtrd 4067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
34	30	recld 11282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR )
35	34	recnd 8103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. CC )
36	28, 35	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) e. CC )
37	36	abscld 11525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) e. RR )
38	30	abscld 11525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR )
39	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR+ )
40	19	nnrpd 9818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
41	39, 40	rpdivcld 9838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR+ )
42	41	rpred 9820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR )
43		lelttr 8163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( C / n ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
44	37, 38, 42, 43	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
45	33, 44	mpand 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
46	45	ralimdva 2573	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
47	46	ralimdva 2573	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
48	9, 47	mpd 13	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) )
49	7, 8, 48	climrecvg1n 11692	. . . 4 |- ( ph -> G e. dom ~~> )
50		climdm 11639	. . . 4 |- ( G e. dom ~~> <-> G ~~> ( ~~> ` G ) )
51	49, 50	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> G ~~> ( ~~> ` G ) )
52		nnex 9044	. . . 4 |- NN e. _V
53		fex 5815	. . . 4 |- ( ( F : NN --> CC /\ NN e. _V ) -> F e. _V )
54	3, 52, 53	sylancl 413	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
55	4	imcld 11283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( Im ` ( F ` x ) ) e. RR )
56		climcvg1nlem.h	. . . . . . 7 |- H = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
57	55, 56	fmptd 5736	. . . . . 6 |- ( ph -> H : NN --> RR )
58	13	imcld 11283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR )
59	15	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( Im ` ( F ` x ) ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
60	59, 56	fvmptg 5657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
61	11, 58, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
62	20	imcld 11283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( F ` n ) ) e. RR )
63	22	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = n -> ( Im ` ( F ` x ) ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
64	63, 56	fvmptg 5657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ ( Im ` ( F ` n ) ) e. RR ) -> ( H ` n ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
65	19, 62, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` n ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
66	61, 65	oveq12d 5964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) = ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` n ) ) ) )
67	13, 20	imsubd 11306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) = ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` n ) ) ) )
68	66, 67	eqtr4d 2241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) = ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
69	68	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) )
70		absimle 11428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
71	30, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
72	69, 71	eqbrtrd 4067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
73	61, 58	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` k ) e. RR )
74	65, 62	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` n ) e. RR )
75	73, 74	resubcld 8455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) e. RR )
76	75	recnd 8103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) e. CC )
77	76	abscld 11525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) e. RR )
78		lelttr 8163	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( C / n ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
79	77, 38, 42, 78	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
80	72, 79	mpand 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
81	80	ralimdva 2573	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
82	81	ralimdva 2573	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
83	9, 82	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) )
84	57, 8, 83	climrecvg1n 11692	. . . . 5 |- ( ph -> H e. dom ~~> )
85		climdm 11639	. . . . 5 |- ( H e. dom ~~> <-> H ~~> ( ~~> ` H ) )
86	84, 85	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> H ~~> ( ~~> ` H ) )
87		ax-icn 8022	. . . . 5 |- _i e. CC
88	87	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> _i e. CC )
89		climcvg1nlem.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) )
90	52	mptex 5812	. . . . . 6 |- ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) ) e. _V
91	89, 90	eqeltri 2278	. . . . 5 |- J e. _V
92	91	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> J e. _V )
93		ax-resscn 8019	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
94	93	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
95	57, 94	fssd 5440	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN --> CC )
96	95	ffvelcdmda 5717	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` k ) e. CC )
97	89	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) ) )
98		fveq2 5578	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( H ` x ) = ( H ` k ) )
99	98	oveq2d 5962	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( _i x. ( H ` x ) ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
100	99	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x = k ) -> ( _i x. ( H ` x ) ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
101		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
102	87	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> _i e. CC )
103	102, 96	mulcld 8095	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( _i x. ( H ` k ) ) e. CC )
104	97, 100, 101, 103	fvmptd 5662	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
105	1, 2, 86, 88, 92, 96, 104	climmulc2 11675	. . 3 |- ( ph -> J ~~> ( _i x. ( ~~> ` H ) ) )
106	7	ffvelcdmda 5717	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
107	106	recnd 8103	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
108	104, 103	eqeltrd 2282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) e. CC )
109	3	ffvelcdmda 5717	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
110	109	replimd 11285	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) ) )
111	109	recld 11282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR )
112	101, 111, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
113	109	imcld 11283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR )
114	101, 113, 60	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
115	114	oveq2d 5962	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( _i x. ( H ` k ) ) = ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) )
116	104, 115	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) = ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) )
117	112, 116	oveq12d 5964	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) + ( J ` k ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) ) )
118	110, 117	eqtr4d 2241	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( ( G ` k ) + ( J ` k ) ) )
119	1, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118	climadd 11670	. 2 |- ( ph -> F ~~> ( ( ~~> ` G ) + ( _i x. ( ~~> ` H ) ) ) )
120		climrel 11624	. . 3 |- Rel ~~>
121	120	releldmi 4918	. 2 |- ( F ~~> ( ( ~~> ` G ) + ( _i x. ( ~~> ` H ) ) ) -> F e. dom ~~> )
122	119, 121	syl 14	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   class class class wbr 4045   |-> cmpt 4106   dom cdm 4676   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   1c1 7928   _ici 7929   + caddc 7930   x. cmul 7932   < clt 8109   <_ cle 8110   - cmin 8245   / cdiv 8747   NNcn 9038   ZZ>=cuz 9650   RR+crp 9777   Recre 11184   Imcim 11185   abscabs 11341   ~~> cli 11622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-rp 9778  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623

This theorem is referenced by:  climcvg1n  11694