Theorem climcvg1nlem 11357

Description: Lemma for climcvg1n 11358. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of F, show those converge, and use that to show that F converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> CC )
climcvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
climcvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
climcvg1nlem.g	|- G = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
climcvg1nlem.h	|- H = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
climcvg1nlem.j	|- J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcvg1nlem	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k, n   k, F, x   k, G, n   k, H, n, x   k, J   ph, k, n, x

Allowed substitution hints:   C( x)   F( n)   G( x)   J( x, n)

Proof of Theorem climcvg1nlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9563	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9280	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		climcvg1n.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> CC )
4	3	ffvelcdmda 5652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. CC )
5	4	recld 10947	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( Re ` ( F ` x ) ) e. RR )
6		climcvg1nlem.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
7	5, 6	fmptd 5671	. . . . 5 |- ( ph -> G : NN --> RR )
8		climcvg1n.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR+ )
9		climcvg1n.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
10		eluznn 9600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
11	10	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
12	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> CC )
13	12, 11	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
14	13	recld 10947	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR )
15		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
16	15	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> ( Re ` ( F ` x ) ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
17	16, 6	fvmptg 5593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
18	11, 14, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
20	12, 19	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. CC )
21	20	recld 10947	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( F ` n ) ) e. RR )
22		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) )
23	22	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( Re ` ( F ` x ) ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
24	23, 6	fvmptg 5593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( Re ` ( F ` n ) ) e. RR ) -> ( G ` n ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
25	19, 21, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) = ( Re ` ( F ` n ) ) )
26	18, 25	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` n ) ) ) )
27	13, 20	resubd 10970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` n ) ) ) )
28	26, 27	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) = ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
29	28	fveq2d 5520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) = ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) )
30	13, 20	subcld 8268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC )
31		absrele 11092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
33	29, 32	eqbrtrd 4026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
34	30	recld 10947	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR )
35	34	recnd 7986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. CC )
36	28, 35	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) e. CC )
37	36	abscld 11190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) e. RR )
38	30	abscld 11190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR )
39	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR+ )
40	19	nnrpd 9694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
41	39, 40	rpdivcld 9714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR+ )
42	41	rpred 9696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR )
43		lelttr 8046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( C / n ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
44	37, 38, 42, 43	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
45	33, 44	mpand 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
46	45	ralimdva 2544	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
47	46	ralimdva 2544	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
48	9, 47	mpd 13	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( G ` k ) - ( G ` n ) ) ) < ( C / n ) )
49	7, 8, 48	climrecvg1n 11356	. . . 4 |- ( ph -> G e. dom ~~> )
50		climdm 11303	. . . 4 |- ( G e. dom ~~> <-> G ~~> ( ~~> ` G ) )
51	49, 50	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> G ~~> ( ~~> ` G ) )
52		nnex 8925	. . . 4 |- NN e. _V
53		fex 5746	. . . 4 |- ( ( F : NN --> CC /\ NN e. _V ) -> F e. _V )
54	3, 52, 53	sylancl 413	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
55	4	imcld 10948	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( Im ` ( F ` x ) ) e. RR )
56		climcvg1nlem.h	. . . . . . 7 |- H = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
57	55, 56	fmptd 5671	. . . . . 6 |- ( ph -> H : NN --> RR )
58	13	imcld 10948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR )
59	15	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( Im ` ( F ` x ) ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
60	59, 56	fvmptg 5593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
61	11, 58, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
62	20	imcld 10948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( F ` n ) ) e. RR )
63	22	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = n -> ( Im ` ( F ` x ) ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
64	63, 56	fvmptg 5593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ ( Im ` ( F ` n ) ) e. RR ) -> ( H ` n ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
65	19, 62, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` n ) = ( Im ` ( F ` n ) ) )
66	61, 65	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) = ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` n ) ) ) )
67	13, 20	imsubd 10971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) = ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` n ) ) ) )
68	66, 67	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) = ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
69	68	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) )
70		absimle 11093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
71	30, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
72	69, 71	eqbrtrd 4026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) )
73	61, 58	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` k ) e. RR )
74	65, 62	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( H ` n ) e. RR )
75	73, 74	resubcld 8338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) e. RR )
76	75	recnd 7986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) e. CC )
77	76	abscld 11190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) e. RR )
78		lelttr 8046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( C / n ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
79	77, 38, 42, 78	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
80	72, 79	mpand 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
81	80	ralimdva 2544	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
82	81	ralimdva 2544	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) ) )
83	9, 82	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( H ` k ) - ( H ` n ) ) ) < ( C / n ) )
84	57, 8, 83	climrecvg1n 11356	. . . . 5 |- ( ph -> H e. dom ~~> )
85		climdm 11303	. . . . 5 |- ( H e. dom ~~> <-> H ~~> ( ~~> ` H ) )
86	84, 85	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> H ~~> ( ~~> ` H ) )
87		ax-icn 7906	. . . . 5 |- _i e. CC
88	87	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> _i e. CC )
89		climcvg1nlem.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) )
90	52	mptex 5743	. . . . . 6 |- ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) ) e. _V
91	89, 90	eqeltri 2250	. . . . 5 |- J e. _V
92	91	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> J e. _V )
93		ax-resscn 7903	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
94	93	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
95	57, 94	fssd 5379	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN --> CC )
96	95	ffvelcdmda 5652	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` k ) e. CC )
97	89	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> J = ( x e. NN |-> ( _i x. ( H ` x ) ) ) )
98		fveq2 5516	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( H ` x ) = ( H ` k ) )
99	98	oveq2d 5891	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( _i x. ( H ` x ) ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
100	99	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x = k ) -> ( _i x. ( H ` x ) ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
101		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
102	87	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> _i e. CC )
103	102, 96	mulcld 7978	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( _i x. ( H ` k ) ) e. CC )
104	97, 100, 101, 103	fvmptd 5598	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) = ( _i x. ( H ` k ) ) )
105	1, 2, 86, 88, 92, 96, 104	climmulc2 11339	. . 3 |- ( ph -> J ~~> ( _i x. ( ~~> ` H ) ) )
106	7	ffvelcdmda 5652	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
107	106	recnd 7986	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
108	104, 103	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) e. CC )
109	3	ffvelcdmda 5652	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
110	109	replimd 10950	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) ) )
111	109	recld 10947	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Re ` ( F ` k ) ) e. RR )
112	101, 111, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( Re ` ( F ` k ) ) )
113	109	imcld 10948	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( Im ` ( F ` k ) ) e. RR )
114	101, 113, 60	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` k ) = ( Im ` ( F ` k ) ) )
115	114	oveq2d 5891	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( _i x. ( H ` k ) ) = ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) )
116	104, 115	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) = ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) )
117	112, 116	oveq12d 5893	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) + ( J ` k ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` k ) ) ) ) )
118	110, 117	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( ( G ` k ) + ( J ` k ) ) )
119	1, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118	climadd 11334	. 2 |- ( ph -> F ~~> ( ( ~~> ` G ) + ( _i x. ( ~~> ` H ) ) ) )
120		climrel 11288	. . 3 |- Rel ~~>
121	120	releldmi 4867	. 2 |- ( F ~~> ( ( ~~> ` G ) + ( _i x. ( ~~> ` H ) ) ) -> F e. dom ~~> )
122	119, 121	syl 14	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   dom cdm 4627   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   1c1 7812   _ici 7813   + caddc 7814   x. cmul 7816   < clt 7992   <_ cle 7993   - cmin 8128   / cdiv 8629   NNcn 8919   ZZ>=cuz 9528   RR+crp 9653   Recre 10849   Imcim 10850   abscabs 11006   ~~> cli 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287

This theorem is referenced by:  climcvg1n  11358