Theorem climcl 11428

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
climcl	|- ( F ~~> A -> A e. CC )

Proof of Theorem climcl

Dummy variables j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 11426	. . . . 5 |- Rel ~~>
2	1	brrelex1i 4703	. . . 4 |- ( F ~~> A -> F e. _V )
3		eqidd 2194	. . . 4 |- ( ( F ~~> A /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
4	2, 3	clim 11427	. . 3 |- ( F ~~> A -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
5	4	ibi 176	. 2 |- ( F ~~> A -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
6	5	simpld 112	1 |- ( F ~~> A -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   < clt 8056   - cmin 8192   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   RR+crp 9722   abscabs 11144   ~~> cli 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596  df-clim 11425

This theorem is referenced by:  climuni  11439  fclim  11440  climeu  11442  climreu  11443  2clim  11447  climcn1lem  11465  climrecl  11470  climadd  11472  climmul  11473  climsub  11474  climaddc2  11476  climcau  11493  geoisum1c  11666  clim2divap  11686  ntrivcvgap  11694