Theorem climcl 11425

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
climcl	|- ( F ~~> A -> A e. CC )

Proof of Theorem climcl

Dummy variables j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 11423	. . . . 5 |- Rel ~~>
2	1	brrelex1i 4702	. . . 4 |- ( F ~~> A -> F e. _V )
3		eqidd 2194	. . . 4 |- ( ( F ~~> A /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
4	2, 3	clim 11424	. . 3 |- ( F ~~> A -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
5	4	ibi 176	. 2 |- ( F ~~> A -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
6	5	simpld 112	1 |- ( F ~~> A -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   < clt 8054   - cmin 8190   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   RR+crp 9719   abscabs 11141   ~~> cli 11421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-neg 8193  df-z 9318  df-uz 9593  df-clim 11422

This theorem is referenced by:  climuni  11436  fclim  11437  climeu  11439  climreu  11440  2clim  11444  climcn1lem  11462  climrecl  11467  climadd  11469  climmul  11470  climsub  11471  climaddc2  11473  climcau  11490  geoisum1c  11663  clim2divap  11683  ntrivcvgap  11691