Theorem fsum3cvg3 12188

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fsumcvg3.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
fsumcvg3.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcvg3.4	|- ( ph -> A C_ Z )
fisumcvg3.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
fsumcvg3.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
fsumcvg3.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg3	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   Z( k)

Proof of Theorem fsum3cvg3

Dummy variables n m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg3.4	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Z )
2		fsumcvg3.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		uzssz 9958	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
4		zssre 9662	. . . . . . 7 |- ZZ C_ RR
5	3, 4	sstri 3257	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
6	2, 5	eqsstri 3280	. . . . 5 |- Z C_ RR
7	1, 6	sstrdi 3260	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
8		fsumcvg3.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
9		fimaxre2 12016	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
10	7, 8, 9	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
11		arch 9571	. . . . 5 |- ( x e. RR -> E. m e. NN x < m )
12	11	ad2antrl 494	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> E. m e. NN x < m )
13		fsumcvg3.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	13	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M e. ZZ )
15		simprl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. NN )
16	15	nnzd 9778	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. ZZ )
17		zmaxcl 12013	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
18	16, 14, 17	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
19	15	nnred 9326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. RR )
20	14	zred 9779	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M e. RR )
21		maxle2 12001	. . . . . . 7 |- ( ( m e. RR /\ M e. RR ) -> M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
23		eluz2 9943	. . . . . 6 |- ( sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1212	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) )
25	14	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M e. ZZ )
26	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
27	1, 2	sseqtrdi 3296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
28	27	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
29	28, 3	sstrdi 3260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A C_ ZZ )
30		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
31	29, 30	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ZZ )
32	25, 26, 31	3jca 1208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
33	27	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
34	33	sselda 3248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( ZZ>= ` M ) )
35		eluzle 9950	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ z )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M <_ z )
37	31	zred 9779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
38	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> m e. RR )
39	26	zred 9779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. RR )
40		simprl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> x e. RR )
41	40	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x e. RR )
42		breq1 4134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y <_ x <-> z <_ x ) )
43		simprr 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> A. y e. A y <_ x )
44	43	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A y <_ x )
45	42, 44, 30	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ x )
46		simplrr 542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x < m )
47	41, 38, 46	ltled 8452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x <_ m )
48	37, 41, 38, 45, 47	letrd 8457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ m )
49	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M e. RR )
50		maxle1 12000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. RR /\ M e. RR ) -> m <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
51	38, 49, 50	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> m <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
52	37, 38, 39, 48, 51	letrd 8457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
53	36, 52	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> ( M <_ z /\ z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
54		elfz2 10435	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( M <_ z /\ z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
55	32, 53, 54	sylanbrc 421	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
56	55	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> ( z e. A -> z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
57	56	ssrdv 3254	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
58		oveq2 6096	. . . . . . 7 |- ( n = sup ( { m , M } , RR , < ) -> ( M ... n ) = ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
59	58	sseq2d 3278	. . . . . 6 |- ( n = sup ( { m , M } , RR , < ) -> ( A C_ ( M ... n ) <-> A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
60	59	rspcev 2929	. . . . 5 |- ( ( sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
61	24, 57, 60	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
62	12, 61	rexlimddv 2673	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
63	10, 62	rexlimddv 2673	. 2 |- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
64	2	eleq2i 2305	. . . . . 6 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
65		fsumcvg3.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
66	64, 65	sylan2br 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
67	66	adantlr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
68		simprl 535	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
69		fsumcvg3.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
70	69	adantlr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
71		fisumcvg3.dc	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
72	71	adantlr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
73		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> A C_ ( M ... n ) )
74	67, 68, 70, 72, 73	fsum3cvg2 12186	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` n ) )
75		climrel 12071	. . . 4 |- Rel ~~>
76	75	releldmi 5023	. . 3 |- ( seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` n ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
77	74, 76	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
78	63, 77	rexlimddv 2673	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   ifcif 3638   {cpr 3710   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   supcsup 7328   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   + caddc 8188   < clt 8366   <_ cle 8367   NNcn 9313   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428   seqcseq 10905   ~~> cli 12069

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070

This theorem is used by:  isumlessdc  12288