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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fsum3cvg3 | Unicode version |
Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.) |
Ref | Expression |
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fsumcvg3.1 |
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fsumcvg3.2 |
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fsumcvg3.3 |
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fsumcvg3.4 |
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fisumcvg3.dc |
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fsumcvg3.5 |
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fsumcvg3.6 |
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Ref | Expression |
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fsum3cvg3 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fsumcvg3.4 |
. . . . 5
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2 | fsumcvg3.1 |
. . . . . 6
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3 | uzssz 9101 |
. . . . . . 7
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4 | zssre 8820 |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | sstri 3037 |
. . . . . 6
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6 | 2, 5 | eqsstri 3059 |
. . . . 5
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7 | 1, 6 | syl6ss 3040 |
. . . 4
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8 | fsumcvg3.3 |
. . . 4
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9 | fimaxre2 10721 |
. . . 4
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10 | 7, 8, 9 | syl2anc 404 |
. . 3
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11 | arch 8733 |
. . . . 5
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12 | 11 | ad2antrl 475 |
. . . 4
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13 | fsumcvg3.2 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | ad2antrr 473 |
. . . . . 6
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15 | simprl 499 |
. . . . . . . 8
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16 | 15 | nnzd 8930 |
. . . . . . 7
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17 | zmaxcl 10719 |
. . . . . . 7
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18 | 16, 14, 17 | syl2anc 404 |
. . . . . 6
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19 | 15 | nnred 8498 |
. . . . . . 7
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20 | 14 | zred 8931 |
. . . . . . 7
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21 | maxle2 10708 |
. . . . . . 7
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22 | 19, 20, 21 | syl2anc 404 |
. . . . . 6
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23 | eluz2 9088 |
. . . . . 6
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24 | 14, 18, 22, 23 | syl3anbrc 1128 |
. . . . 5
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25 | 14 | adantr 271 |
. . . . . . . . 9
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26 | 18 | adantr 271 |
. . . . . . . . 9
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27 | 1, 2 | syl6sseq 3075 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 27 | ad3antrrr 477 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28, 3 | syl6ss 3040 |
. . . . . . . . . 10
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30 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 29, 30 | sseldd 3029 |
. . . . . . . . 9
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32 | 25, 26, 31 | 3jca 1124 |
. . . . . . . 8
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33 | 27 | ad2antrr 473 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | sselda 3028 |
. . . . . . . . . 10
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35 | eluzle 9094 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 34, 35 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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37 | 31 | zred 8931 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 19 | adantr 271 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 26 | zred 8931 |
. . . . . . . . . 10
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40 | simprl 499 |
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41 | 40 | ad2antrr 473 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | breq1 3856 |
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43 | simprr 500 |
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44 | 43 | ad2antrr 473 |
. . . . . . . . . . . 12
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45 | 42, 44, 30 | rspcdva 2730 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | simplrr 504 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 41, 38, 46 | ltled 7665 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | 37, 41, 38, 45, 47 | letrd 7670 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 20 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | maxle1 10707 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 38, 49, 50 | syl2anc 404 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 37, 38, 39, 48, 51 | letrd 7670 |
. . . . . . . . 9
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53 | 36, 52 | jca 301 |
. . . . . . . 8
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54 | elfz2 9494 |
. . . . . . . 8
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55 | 32, 53, 54 | sylanbrc 409 |
. . . . . . 7
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56 | 55 | ex 114 |
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57 | 56 | ssrdv 3034 |
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58 | oveq2 5676 |
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59 | 58 | sseq2d 3057 |
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60 | 59 | rspcev 2725 |
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61 | 24, 57, 60 | syl2anc 404 |
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62 | 12, 61 | rexlimddv 2496 |
. . 3
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63 | 10, 62 | rexlimddv 2496 |
. 2
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64 | 2 | eleq2i 2155 |
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65 | fsumcvg3.5 |
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66 | 64, 65 | sylan2br 283 |
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67 | 66 | adantlr 462 |
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68 | simprl 499 |
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69 | fsumcvg3.6 |
. . . . 5
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70 | 69 | adantlr 462 |
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71 | fisumcvg3.dc |
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72 | 71 | adantlr 462 |
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73 | simprr 500 |
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74 | 67, 68, 70, 72, 73 | fsum3cvg2 10850 |
. . 3
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75 | climrel 10731 |
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76 | 75 | releldmi 4689 |
. . 3
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77 | 74, 76 | syl 14 |
. 2
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78 | 63, 77 | rexlimddv 2496 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3962 ax-sep 3965 ax-nul 3973 ax-pow 4017 ax-pr 4047 ax-un 4271 ax-setind 4368 ax-iinf 4418 ax-cnex 7499 ax-resscn 7500 ax-1cn 7501 ax-1re 7502 ax-icn 7503 ax-addcl 7504 ax-addrcl 7505 ax-mulcl 7506 ax-mulrcl 7507 ax-addcom 7508 ax-mulcom 7509 ax-addass 7510 ax-mulass 7511 ax-distr 7512 ax-i2m1 7513 ax-0lt1 7514 ax-1rid 7515 ax-0id 7516 ax-rnegex 7517 ax-precex 7518 ax-cnre 7519 ax-pre-ltirr 7520 ax-pre-ltwlin 7521 ax-pre-lttrn 7522 ax-pre-apti 7523 ax-pre-ltadd 7524 ax-pre-mulgt0 7525 ax-pre-mulext 7526 ax-arch 7527 ax-caucvg 7528 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2624 df-sbc 2844 df-csb 2937 df-dif 3004 df-un 3006 df-in 3008 df-ss 3015 df-nul 3290 df-if 3400 df-pw 3437 df-sn 3458 df-pr 3459 df-op 3461 df-uni 3662 df-int 3697 df-iun 3740 df-br 3854 df-opab 3908 df-mpt 3909 df-tr 3945 df-id 4131 df-po 4134 df-iso 4135 df-iord 4204 df-on 4206 df-ilim 4207 df-suc 4209 df-iom 4421 df-xp 4460 df-rel 4461 df-cnv 4462 df-co 4463 df-dm 4464 df-rn 4465 df-res 4466 df-ima 4467 df-iota 4995 df-fun 5032 df-fn 5033 df-f 5034 df-f1 5035 df-fo 5036 df-f1o 5037 df-fv 5038 df-riota 5624 df-ov 5671 df-oprab 5672 df-mpt2 5673 df-1st 5927 df-2nd 5928 df-recs 6086 df-frec 6172 df-er 6308 df-en 6514 df-fin 6516 df-sup 6735 df-pnf 7587 df-mnf 7588 df-xr 7589 df-ltxr 7590 df-le 7591 df-sub 7718 df-neg 7719 df-reap 8115 df-ap 8122 df-div 8203 df-inn 8486 df-2 8544 df-3 8545 df-4 8546 df-n0 8737 df-z 8814 df-uz 9083 df-rp 9198 df-fz 9488 df-iseq 9916 df-seq3 9917 df-exp 10018 df-cj 10339 df-re 10340 df-im 10341 df-rsqrt 10494 df-abs 10495 df-clim 10730 |
This theorem is referenced by: isumlessdc 10953 |
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