Theorem fsum3cvg3 11956

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fsumcvg3.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
fsumcvg3.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcvg3.4	|- ( ph -> A C_ Z )
fisumcvg3.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
fsumcvg3.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
fsumcvg3.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg3	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   Z( k)

Proof of Theorem fsum3cvg3

Dummy variables n m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg3.4	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Z )
2		fsumcvg3.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		uzssz 9775	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
4		zssre 9485	. . . . . . 7 |- ZZ C_ RR
5	3, 4	sstri 3236	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
6	2, 5	eqsstri 3259	. . . . 5 |- Z C_ RR
7	1, 6	sstrdi 3239	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
8		fsumcvg3.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
9		fimaxre2 11787	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
11		arch 9398	. . . . 5 |- ( x e. RR -> E. m e. NN x < m )
12	11	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> E. m e. NN x < m )
13		fsumcvg3.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	13	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M e. ZZ )
15		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. NN )
16	15	nnzd 9600	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. ZZ )
17		zmaxcl 11784	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
18	16, 14, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
19	15	nnred 9155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. RR )
20	14	zred 9601	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M e. RR )
21		maxle2 11772	. . . . . . 7 |- ( ( m e. RR /\ M e. RR ) -> M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
23		eluz2 9760	. . . . . 6 |- ( sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1207	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) )
25	14	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M e. ZZ )
26	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
27	1, 2	sseqtrdi 3275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
28	27	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
29	28, 3	sstrdi 3239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A C_ ZZ )
30		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
31	29, 30	sseldd 3228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ZZ )
32	25, 26, 31	3jca 1203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
33	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
34	33	sselda 3227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( ZZ>= ` M ) )
35		eluzle 9767	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ z )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M <_ z )
37	31	zred 9601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
38	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> m e. RR )
39	26	zred 9601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. RR )
40		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> x e. RR )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x e. RR )
42		breq1 4091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y <_ x <-> z <_ x ) )
43		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> A. y e. A y <_ x )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A y <_ x )
45	42, 44, 30	rspcdva 2915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ x )
46		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x < m )
47	41, 38, 46	ltled 8297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x <_ m )
48	37, 41, 38, 45, 47	letrd 8302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ m )
49	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M e. RR )
50		maxle1 11771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. RR /\ M e. RR ) -> m <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
51	38, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> m <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
52	37, 38, 39, 48, 51	letrd 8302	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
53	36, 52	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> ( M <_ z /\ z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
54		elfz2 10249	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( M <_ z /\ z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
55	32, 53, 54	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
56	55	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> ( z e. A -> z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
57	56	ssrdv 3233	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
58		oveq2 6025	. . . . . . 7 |- ( n = sup ( { m , M } , RR , < ) -> ( M ... n ) = ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
59	58	sseq2d 3257	. . . . . 6 |- ( n = sup ( { m , M } , RR , < ) -> ( A C_ ( M ... n ) <-> A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
60	59	rspcev 2910	. . . . 5 |- ( ( sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
61	24, 57, 60	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
62	12, 61	rexlimddv 2655	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
63	10, 62	rexlimddv 2655	. 2 |- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
64	2	eleq2i 2298	. . . . . 6 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
65		fsumcvg3.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
66	64, 65	sylan2br 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
67	66	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
68		simprl 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
69		fsumcvg3.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
70	69	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
71		fisumcvg3.dc	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
72	71	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
73		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> A C_ ( M ... n ) )
74	67, 68, 70, 72, 73	fsum3cvg2 11954	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` n ) )
75		climrel 11840	. . . 4 |- Rel ~~>
76	75	releldmi 4971	. . 3 |- ( seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` n ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
77	74, 76	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
78	63, 77	rexlimddv 2655	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   C_ wss 3200   ifcif 3605   {cpr 3670   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Fincfn 6908   supcsup 7180   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   + caddc 8034   < clt 8213   <_ cle 8214   NNcn 9142   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   seqcseq 10708   ~~> cli 11838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-fz 10243  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839

This theorem is referenced by:  isumlessdc  12056