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Theorem fsum3cvg3 11172
Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcvg3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fsumcvg3.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
fsumcvg3.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcvg3.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
fisumcvg3.dc  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
fsumcvg3.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
fsumcvg3.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsum3cvg3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    Z( k)

Proof of Theorem fsum3cvg3
Dummy variables  n  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcvg3.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
2 fsumcvg3.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 uzssz 9352 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
4 zssre 9068 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  RR
53, 4sstri 3106 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
62, 5eqsstri 3129 . . . . 5  |-  Z  C_  RR
71, 6sstrdi 3109 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
8 fsumcvg3.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
9 fimaxre2 11005 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
107, 8, 9syl2anc 408 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
11 arch 8981 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  E. m  e.  NN  x  <  m
)
1211ad2antrl 481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  ->  E. m  e.  NN  x  <  m
)
13 fsumcvg3.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1413ad2antrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  M  e.  ZZ )
15 simprl 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  m  e.  NN )
1615nnzd 9179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  m  e.  ZZ )
17 zmaxcl 11003 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ )
1816, 14, 17syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ )
1915nnred 8740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  m  e.  RR )
2014zred 9180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  M  e.  RR )
21 maxle2 10991 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  M  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )
2219, 20, 21syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  M  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )
23 eluz2 9339 . . . . . 6  |-  ( sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ  /\  M  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) ) )
2414, 18, 22, 23syl3anbrc 1165 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
2514adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
2618adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ )
271, 2sseqtrdi 3145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2827ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2928, 3sstrdi 3109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  A  C_  ZZ )
30 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
3129, 30sseldd 3098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ZZ )
3225, 26, 313jca 1161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( M  e.  ZZ  /\ 
sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
3327ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M
) )
3433sselda 3097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M ) )
35 eluzle 9345 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  z )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  M  <_  z )
3731zred 9180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
3819adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  m  e.  RR )
3926zred 9180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
40 simprl 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
4140ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  RR )
42 breq1 3932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y  <_  x  <->  z  <_  x ) )
43 simprr 521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x )
4443ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x )
4542, 44, 30rspcdva 2794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  x )
46 simplrr 525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  x  <  m )
4741, 38, 46ltled 7888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  x  <_  m )
4837, 41, 38, 45, 47letrd 7893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  m )
4920adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  M  e.  RR )
50 maxle1 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  m  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )
5138, 49, 50syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  m  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )
5237, 38, 39, 48, 51letrd 7893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )
5336, 52jca 304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( M  <_  z  /\  z  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) ) )
54 elfz2 9804 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  z  /\  z  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) ) ) )
5532, 53, 54sylanbrc 413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )
) )
5655ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  -> 
( z  e.  A  ->  z  e.  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )
) ) )
5756ssrdv 3103 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  A  C_  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) ) )
58 oveq2 5782 . . . . . . 7  |-  ( n  =  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  ->  ( M ... n
)  =  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )
) )
5958sseq2d 3127 . . . . . 6  |-  ( n  =  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  ->  ( A  C_  ( M ... n )  <->  A  C_  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )
) ) )
6059rspcev 2789 . . . . 5  |-  ( ( sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) A 
C_  ( M ... n ) )
6124, 57, 60syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  E. n  e.  ( ZZ>=
`  M ) A 
C_  ( M ... n ) )
6212, 61rexlimddv 2554 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  ->  E. n  e.  ( ZZ>= `  M ) A  C_  ( M ... n ) )
6310, 62rexlimddv 2554 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) A 
C_  ( M ... n ) )
642eleq2i 2206 . . . . . 6  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
65 fsumcvg3.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
6664, 65sylan2br 286 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
6766adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
68 simprl 520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
69 fsumcvg3.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
7069adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n
) ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
71 fisumcvg3.dc . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
7271adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> DECID  k  e.  A )
73 simprr 521 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n ) ) )  ->  A  C_  ( M ... n ) )
7467, 68, 70, 72, 73fsum3cvg2 11170 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n ) ) )  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) )
75 climrel 11056 . . . 4  |-  Rel  ~~>
7675releldmi 4778 . . 3  |-  (  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
7774, 76syl 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n ) ) )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
7863, 77rexlimddv 2554 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 819    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    C_ wss 3071   ifcif 3474   {cpr 3528   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   supcsup 6869   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627    + caddc 7630    < clt 7807    <_ cle 7808   NNcn 8727   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797    seqcseq 10225    ~~> cli 11054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-fz 9798  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055
This theorem is referenced by:  isumlessdc  11272
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