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Theorem fsum3cvg3 10852
Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcvg3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fsumcvg3.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
fsumcvg3.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcvg3.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
fisumcvg3.dc  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
fsumcvg3.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
fsumcvg3.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsum3cvg3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    Z( k)

Proof of Theorem fsum3cvg3
Dummy variables  n  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcvg3.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
2 fsumcvg3.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 uzssz 9101 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
4 zssre 8820 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  RR
53, 4sstri 3037 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
62, 5eqsstri 3059 . . . . 5  |-  Z  C_  RR
71, 6syl6ss 3040 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
8 fsumcvg3.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
9 fimaxre2 10721 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
107, 8, 9syl2anc 404 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
11 arch 8733 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  E. m  e.  NN  x  <  m
)
1211ad2antrl 475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  ->  E. m  e.  NN  x  <  m
)
13 fsumcvg3.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1413ad2antrr 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  M  e.  ZZ )
15 simprl 499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  m  e.  NN )
1615nnzd 8930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  m  e.  ZZ )
17 zmaxcl 10719 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ )
1816, 14, 17syl2anc 404 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ )
1915nnred 8498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  m  e.  RR )
2014zred 8931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  M  e.  RR )
21 maxle2 10708 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  M  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )
2219, 20, 21syl2anc 404 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  M  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )
23 eluz2 9088 . . . . . 6  |-  ( sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ  /\  M  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) ) )
2414, 18, 22, 23syl3anbrc 1128 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
2514adantr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
2618adantr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ )
271, 2syl6sseq 3075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2827ad3antrrr 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2928, 3syl6ss 3040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  A  C_  ZZ )
30 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
3129, 30sseldd 3029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ZZ )
3225, 26, 313jca 1124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( M  e.  ZZ  /\ 
sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
3327ad2antrr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M
) )
3433sselda 3028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M ) )
35 eluzle 9094 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  z )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  M  <_  z )
3731zred 8931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
3819adantr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  m  e.  RR )
3926zred 8931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
40 simprl 499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
4140ad2antrr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  RR )
42 breq1 3856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y  <_  x  <->  z  <_  x ) )
43 simprr 500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x )
4443ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x )
4542, 44, 30rspcdva 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  x )
46 simplrr 504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  x  <  m )
4741, 38, 46ltled 7665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  x  <_  m )
4837, 41, 38, 45, 47letrd 7670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  m )
4920adantr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  M  e.  RR )
50 maxle1 10707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  m  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )
5138, 49, 50syl2anc 404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  m  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )
5237, 38, 39, 48, 51letrd 7670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )
5336, 52jca 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( M  <_  z  /\  z  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) ) )
54 elfz2 9494 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  z  /\  z  <_  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) ) ) )
5532, 53, 54sylanbrc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )
) )
5655ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  -> 
( z  e.  A  ->  z  e.  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )
) ) )
5756ssrdv 3034 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  A  C_  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) ) )
58 oveq2 5676 . . . . . . 7  |-  ( n  =  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  ->  ( M ... n
)  =  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )
) )
5958sseq2d 3057 . . . . . 6  |-  ( n  =  sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  ->  ( A  C_  ( M ... n )  <->  A  C_  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )
) ) )
6059rspcev 2725 . . . . 5  |-  ( ( sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... sup ( { m ,  M } ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) A 
C_  ( M ... n ) )
6124, 57, 60syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  x  < 
m ) )  ->  E. n  e.  ( ZZ>=
`  M ) A 
C_  ( M ... n ) )
6212, 61rexlimddv 2496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  x ) )  ->  E. n  e.  ( ZZ>= `  M ) A  C_  ( M ... n ) )
6310, 62rexlimddv 2496 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) A 
C_  ( M ... n ) )
642eleq2i 2155 . . . . . 6  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
65 fsumcvg3.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
6664, 65sylan2br 283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
6766adantlr 462 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
68 simprl 499 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
69 fsumcvg3.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
7069adantlr 462 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n
) ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
71 fisumcvg3.dc . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
7271adantlr 462 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> DECID  k  e.  A )
73 simprr 500 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n ) ) )  ->  A  C_  ( M ... n ) )
7467, 68, 70, 72, 73fsum3cvg2 10850 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n ) ) )  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) )
75 climrel 10731 . . . 4  |-  Rel  ~~>
7675releldmi 4689 . . 3  |-  (  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
7774, 76syl 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A  C_  ( M ... n ) ) )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
7863, 77rexlimddv 2496 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 781    /\ w3a 925    = wceq 1290    e. wcel 1439   A.wral 2360   E.wrex 2361    C_ wss 3002   ifcif 3399   {cpr 3453   class class class wbr 3853   dom cdm 4454   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   Fincfn 6513   supcsup 6733   CCcc 7411   RRcr 7412   0cc0 7413    + caddc 7416    < clt 7585    <_ cle 7586   NNcn 8485   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082   ...cfz 9487    seqcseq 9915    ~~> cli 10729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-er 6308  df-en 6514  df-fin 6516  df-sup 6735  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-rp 9198  df-fz 9488  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730
This theorem is referenced by:  isumlessdc  10953
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