Theorem fsum3cvg3 11907

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fsumcvg3.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
fsumcvg3.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcvg3.4	|- ( ph -> A C_ Z )
fisumcvg3.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
fsumcvg3.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
fsumcvg3.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg3	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   Z( k)

Proof of Theorem fsum3cvg3

Dummy variables n m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg3.4	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Z )
2		fsumcvg3.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		uzssz 9742	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
4		zssre 9453	. . . . . . 7 |- ZZ C_ RR
5	3, 4	sstri 3233	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
6	2, 5	eqsstri 3256	. . . . 5 |- Z C_ RR
7	1, 6	sstrdi 3236	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
8		fsumcvg3.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
9		fimaxre2 11738	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
11		arch 9366	. . . . 5 |- ( x e. RR -> E. m e. NN x < m )
12	11	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> E. m e. NN x < m )
13		fsumcvg3.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	13	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M e. ZZ )
15		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. NN )
16	15	nnzd 9568	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. ZZ )
17		zmaxcl 11735	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
18	16, 14, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
19	15	nnred 9123	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. RR )
20	14	zred 9569	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M e. RR )
21		maxle2 11723	. . . . . . 7 |- ( ( m e. RR /\ M e. RR ) -> M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
23		eluz2 9728	. . . . . 6 |- ( sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1205	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) )
25	14	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M e. ZZ )
26	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
27	1, 2	sseqtrdi 3272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
28	27	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
29	28, 3	sstrdi 3236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A C_ ZZ )
30		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
31	29, 30	sseldd 3225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ZZ )
32	25, 26, 31	3jca 1201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
33	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
34	33	sselda 3224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( ZZ>= ` M ) )
35		eluzle 9734	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ z )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M <_ z )
37	31	zred 9569	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
38	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> m e. RR )
39	26	zred 9569	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. RR )
40		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> x e. RR )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x e. RR )
42		breq1 4086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y <_ x <-> z <_ x ) )
43		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> A. y e. A y <_ x )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A y <_ x )
45	42, 44, 30	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ x )
46		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x < m )
47	41, 38, 46	ltled 8265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x <_ m )
48	37, 41, 38, 45, 47	letrd 8270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ m )
49	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M e. RR )
50		maxle1 11722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. RR /\ M e. RR ) -> m <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
51	38, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> m <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
52	37, 38, 39, 48, 51	letrd 8270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
53	36, 52	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> ( M <_ z /\ z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
54		elfz2 10211	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( M <_ z /\ z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
55	32, 53, 54	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
56	55	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> ( z e. A -> z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
57	56	ssrdv 3230	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
58		oveq2 6009	. . . . . . 7 |- ( n = sup ( { m , M } , RR , < ) -> ( M ... n ) = ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
59	58	sseq2d 3254	. . . . . 6 |- ( n = sup ( { m , M } , RR , < ) -> ( A C_ ( M ... n ) <-> A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
60	59	rspcev 2907	. . . . 5 |- ( ( sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
61	24, 57, 60	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
62	12, 61	rexlimddv 2653	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
63	10, 62	rexlimddv 2653	. 2 |- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
64	2	eleq2i 2296	. . . . . 6 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
65		fsumcvg3.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
66	64, 65	sylan2br 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
67	66	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
68		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
69		fsumcvg3.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
70	69	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
71		fisumcvg3.dc	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
72	71	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
73		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> A C_ ( M ... n ) )
74	67, 68, 70, 72, 73	fsum3cvg2 11905	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` n ) )
75		climrel 11791	. . . 4 |- Rel ~~>
76	75	releldmi 4963	. . 3 |- ( seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` n ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
77	74, 76	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
78	63, 77	rexlimddv 2653	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   ifcif 3602   {cpr 3667   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   supcsup 7149   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   + caddc 8002   < clt 8181   <_ cle 8182   NNcn 9110   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204   seqcseq 10669   ~~> cli 11789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-er 6680  df-en 6888  df-fin 6890  df-sup 7151  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-rp 9850  df-fz 10205  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790

This theorem is referenced by:  isumlessdc  12007