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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fsum3cvg3 | Unicode version |
Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.) |
Ref | Expression |
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fsumcvg3.1 |
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fsumcvg3.2 |
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fsumcvg3.3 |
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fsumcvg3.4 |
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fisumcvg3.dc |
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fsumcvg3.5 |
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fsumcvg3.6 |
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Ref | Expression |
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fsum3cvg3 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fsumcvg3.4 |
. . . . 5
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2 | fsumcvg3.1 |
. . . . . 6
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3 | uzssz 9369 |
. . . . . . 7
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4 | zssre 9085 |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | sstri 3111 |
. . . . . 6
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6 | 2, 5 | eqsstri 3134 |
. . . . 5
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7 | 1, 6 | sstrdi 3114 |
. . . 4
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8 | fsumcvg3.3 |
. . . 4
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9 | fimaxre2 11030 |
. . . 4
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10 | 7, 8, 9 | syl2anc 409 |
. . 3
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11 | arch 8998 |
. . . . 5
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12 | 11 | ad2antrl 482 |
. . . 4
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13 | fsumcvg3.2 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | ad2antrr 480 |
. . . . . 6
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15 | simprl 521 |
. . . . . . . 8
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16 | 15 | nnzd 9196 |
. . . . . . 7
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17 | zmaxcl 11028 |
. . . . . . 7
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18 | 16, 14, 17 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
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19 | 15 | nnred 8757 |
. . . . . . 7
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20 | 14 | zred 9197 |
. . . . . . 7
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21 | maxle2 11016 |
. . . . . . 7
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22 | 19, 20, 21 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
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23 | eluz2 9356 |
. . . . . 6
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24 | 14, 18, 22, 23 | syl3anbrc 1166 |
. . . . 5
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25 | 14 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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26 | 18 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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27 | 1, 2 | sseqtrdi 3150 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 27 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28, 3 | sstrdi 3114 |
. . . . . . . . . 10
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30 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 29, 30 | sseldd 3103 |
. . . . . . . . 9
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32 | 25, 26, 31 | 3jca 1162 |
. . . . . . . 8
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33 | 27 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | sselda 3102 |
. . . . . . . . . 10
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35 | eluzle 9362 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 34, 35 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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37 | 31 | zred 9197 |
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38 | 19 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 26 | zred 9197 |
. . . . . . . . . 10
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40 | simprl 521 |
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41 | 40 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | breq1 3940 |
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43 | simprr 522 |
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44 | 43 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
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45 | 42, 44, 30 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | simplrr 526 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 41, 38, 46 | ltled 7905 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | 37, 41, 38, 45, 47 | letrd 7910 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 20 | adantr 274 |
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50 | maxle1 11015 |
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51 | 38, 49, 50 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 37, 38, 39, 48, 51 | letrd 7910 |
. . . . . . . . 9
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53 | 36, 52 | jca 304 |
. . . . . . . 8
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54 | elfz2 9828 |
. . . . . . . 8
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55 | 32, 53, 54 | sylanbrc 414 |
. . . . . . 7
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56 | 55 | ex 114 |
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57 | 56 | ssrdv 3108 |
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58 | oveq2 5790 |
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59 | 58 | sseq2d 3132 |
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60 | 59 | rspcev 2793 |
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61 | 24, 57, 60 | syl2anc 409 |
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62 | 12, 61 | rexlimddv 2557 |
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63 | 10, 62 | rexlimddv 2557 |
. 2
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64 | 2 | eleq2i 2207 |
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65 | fsumcvg3.5 |
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66 | 64, 65 | sylan2br 286 |
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67 | 66 | adantlr 469 |
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68 | simprl 521 |
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69 | fsumcvg3.6 |
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70 | 69 | adantlr 469 |
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71 | fisumcvg3.dc |
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72 | 71 | adantlr 469 |
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73 | simprr 522 |
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74 | 67, 68, 70, 72, 73 | fsum3cvg2 11195 |
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75 | climrel 11081 |
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76 | 75 | releldmi 4786 |
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77 | 74, 76 | syl 14 |
. 2
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78 | 63, 77 | rexlimddv 2557 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-er 6437 df-en 6643 df-fin 6645 df-sup 6879 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-rp 9471 df-fz 9822 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-clim 11080 |
This theorem is referenced by: isumlessdc 11297 |
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