Theorem fsum3cvg3 11388

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fsumcvg3.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
fsumcvg3.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcvg3.4	|- ( ph -> A C_ Z )
fisumcvg3.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
fsumcvg3.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
fsumcvg3.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg3	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   Z( k)

Proof of Theorem fsum3cvg3

Dummy variables n m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg3.4	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Z )
2		fsumcvg3.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		uzssz 9536	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
4		zssre 9249	. . . . . . 7 |- ZZ C_ RR
5	3, 4	sstri 3164	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
6	2, 5	eqsstri 3187	. . . . 5 |- Z C_ RR
7	1, 6	sstrdi 3167	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
8		fsumcvg3.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
9		fimaxre2 11219	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
11		arch 9162	. . . . 5 |- ( x e. RR -> E. m e. NN x < m )
12	11	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> E. m e. NN x < m )
13		fsumcvg3.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	13	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M e. ZZ )
15		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. NN )
16	15	nnzd 9363	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. ZZ )
17		zmaxcl 11217	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
18	16, 14, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
19	15	nnred 8921	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. RR )
20	14	zred 9364	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M e. RR )
21		maxle2 11205	. . . . . . 7 |- ( ( m e. RR /\ M e. RR ) -> M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
23		eluz2 9523	. . . . . 6 |- ( sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1181	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) )
25	14	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M e. ZZ )
26	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
27	1, 2	sseqtrdi 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
28	27	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
29	28, 3	sstrdi 3167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A C_ ZZ )
30		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
31	29, 30	sseldd 3156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ZZ )
32	25, 26, 31	3jca 1177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
33	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
34	33	sselda 3155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( ZZ>= ` M ) )
35		eluzle 9529	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ z )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M <_ z )
37	31	zred 9364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
38	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> m e. RR )
39	26	zred 9364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. RR )
40		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> x e. RR )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x e. RR )
42		breq1 4003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y <_ x <-> z <_ x ) )
43		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> A. y e. A y <_ x )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A y <_ x )
45	42, 44, 30	rspcdva 2846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ x )
46		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x < m )
47	41, 38, 46	ltled 8066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x <_ m )
48	37, 41, 38, 45, 47	letrd 8071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ m )
49	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M e. RR )
50		maxle1 11204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. RR /\ M e. RR ) -> m <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
51	38, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> m <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
52	37, 38, 39, 48, 51	letrd 8071	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
53	36, 52	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> ( M <_ z /\ z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
54		elfz2 10002	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( M <_ z /\ z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
55	32, 53, 54	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
56	55	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> ( z e. A -> z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
57	56	ssrdv 3161	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
58		oveq2 5877	. . . . . . 7 |- ( n = sup ( { m , M } , RR , < ) -> ( M ... n ) = ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
59	58	sseq2d 3185	. . . . . 6 |- ( n = sup ( { m , M } , RR , < ) -> ( A C_ ( M ... n ) <-> A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
60	59	rspcev 2841	. . . . 5 |- ( ( sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
61	24, 57, 60	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
62	12, 61	rexlimddv 2599	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
63	10, 62	rexlimddv 2599	. 2 |- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
64	2	eleq2i 2244	. . . . . 6 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
65		fsumcvg3.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
66	64, 65	sylan2br 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
67	66	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
68		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
69		fsumcvg3.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
70	69	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
71		fisumcvg3.dc	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
72	71	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
73		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> A C_ ( M ... n ) )
74	67, 68, 70, 72, 73	fsum3cvg2 11386	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` n ) )
75		climrel 11272	. . . 4 |- Rel ~~>
76	75	releldmi 4862	. . 3 |- ( seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` n ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
77	74, 76	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
78	63, 77	rexlimddv 2599	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   ifcif 3534   {cpr 3592   class class class wbr 4000   dom cdm 4623   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Fincfn 6734   supcsup 6975   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   + caddc 7805   < clt 7982   <_ cle 7983   NNcn 8908   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995   seqcseq 10431   ~~> cli 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-fz 9996  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271

This theorem is referenced by:  isumlessdc  11488