Theorem fsum3cvg3 11337

Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fsumcvg3.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
fsumcvg3.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcvg3.4	|- ( ph -> A C_ Z )
fisumcvg3.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
fsumcvg3.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
fsumcvg3.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsum3cvg3	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   Z( k)

Proof of Theorem fsum3cvg3

Dummy variables n m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg3.4	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Z )
2		fsumcvg3.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		uzssz 9485	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
4		zssre 9198	. . . . . . 7 |- ZZ C_ RR
5	3, 4	sstri 3151	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
6	2, 5	eqsstri 3174	. . . . 5 |- Z C_ RR
7	1, 6	sstrdi 3154	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
8		fsumcvg3.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
9		fimaxre2 11168	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
10	7, 8, 9	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
11		arch 9111	. . . . 5 |- ( x e. RR -> E. m e. NN x < m )
12	11	ad2antrl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> E. m e. NN x < m )
13		fsumcvg3.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	13	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M e. ZZ )
15		simprl 521	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. NN )
16	15	nnzd 9312	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. ZZ )
17		zmaxcl 11166	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
18	16, 14, 17	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
19	15	nnred 8870	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> m e. RR )
20	14	zred 9313	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M e. RR )
21		maxle2 11154	. . . . . . 7 |- ( ( m e. RR /\ M e. RR ) -> M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
23		eluz2 9472	. . . . . 6 |- ( sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ M <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1171	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) )
25	14	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M e. ZZ )
26	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ )
27	1, 2	sseqtrdi 3190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
28	27	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
29	28, 3	sstrdi 3154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A C_ ZZ )
30		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
31	29, 30	sseldd 3143	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ZZ )
32	25, 26, 31	3jca 1167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
33	27	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
34	33	sselda 3142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( ZZ>= ` M ) )
35		eluzle 9478	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ z )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M <_ z )
37	31	zred 9313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
38	19	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> m e. RR )
39	26	zred 9313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> sup ( { m , M } , RR , < ) e. RR )
40		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> x e. RR )
41	40	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x e. RR )
42		breq1 3985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y <_ x <-> z <_ x ) )
43		simprr 522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> A. y e. A y <_ x )
44	43	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A y <_ x )
45	42, 44, 30	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ x )
46		simplrr 526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x < m )
47	41, 38, 46	ltled 8017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> x <_ m )
48	37, 41, 38, 45, 47	letrd 8022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ m )
49	20	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> M e. RR )
50		maxle1 11153	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. RR /\ M e. RR ) -> m <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
51	38, 49, 50	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> m <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
52	37, 38, 39, 48, 51	letrd 8022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) )
53	36, 52	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> ( M <_ z /\ z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
54		elfz2 9951	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ sup ( { m , M } , RR , < ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( M <_ z /\ z <_ sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
55	32, 53, 54	sylanbrc 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
56	55	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> ( z e. A -> z e. ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
57	56	ssrdv 3148	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
58		oveq2 5850	. . . . . . 7 |- ( n = sup ( { m , M } , RR , < ) -> ( M ... n ) = ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) )
59	58	sseq2d 3172	. . . . . 6 |- ( n = sup ( { m , M } , RR , < ) -> ( A C_ ( M ... n ) <-> A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) )
60	59	rspcev 2830	. . . . 5 |- ( ( sup ( { m , M } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... sup ( { m , M } , RR , < ) ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
61	24, 57, 60	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) /\ ( m e. NN /\ x < m ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
62	12, 61	rexlimddv 2588	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <_ x ) ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
63	10, 62	rexlimddv 2588	. 2 |- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) A C_ ( M ... n ) )
64	2	eleq2i 2233	. . . . . 6 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
65		fsumcvg3.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
66	64, 65	sylan2br 286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
67	66	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
68		simprl 521	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
69		fsumcvg3.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
70	69	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
71		fisumcvg3.dc	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
72	71	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
73		simprr 522	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> A C_ ( M ... n ) )
74	67, 68, 70, 72, 73	fsum3cvg2 11335	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` n ) )
75		climrel 11221	. . . 4 |- Rel ~~>
76	75	releldmi 4843	. . 3 |- ( seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` n ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
77	74, 76	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ A C_ ( M ... n ) ) ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
78	63, 77	rexlimddv 2588	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   ifcif 3520   {cpr 3577   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Fincfn 6706   supcsup 6947   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   NNcn 8857   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   seqcseq 10380   ~~> cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-fz 9945  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220

This theorem is referenced by:  isumlessdc  11437