Theorem relopabi 4791

Description: A class of ordered pairs is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
relopabi.1	|- A = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
relopabi	|- Rel A

Proof of Theorem relopabi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabi.1	. . . 4 |- A = { <. x , y >. | ph }
2		df-opab 4095	. . . 4 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
3	1, 2	eqtri 2217	. . 3 |- A = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
4		vex 2766	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5		vex 2766	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	4, 5	opelvv 4713	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. ( _V X. _V )
7		eleq1 2259	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( _V X. _V ) <-> <. x , y >. e. ( _V X. _V ) ) )
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> z e. ( _V X. _V ) )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
10	9	exlimivv 1911	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
11	10	abssi 3258	. . 3 |- { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } C_ ( _V X. _V )
12	3, 11	eqsstri 3215	. 2 |- A C_ ( _V X. _V )
13		df-rel 4670	. 2 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14	12, 13	mpbir 146	1 |- Rel A

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   <.cop 3625   {copab 4093   X. cxp 4661   Rel wrel 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670

This theorem is referenced by:  relopab  4792  mptrel  4794  reli  4795  rele  4796  relcnv  5047  cotr  5051  relco  5168  reloprab  5970  reldmoprab  6007  eqer  6624  ecopover  6692  ecopoverg  6695  relen  6803  reldom  6804  enq0er  7502  aprcl  8673  aptap  8677  climrel  11445  brstruct  12687