Theorem relopabi 4673

Description: A class of ordered pairs is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
relopabi.1	|- A = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
relopabi	|- Rel A

Proof of Theorem relopabi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabi.1	. . . 4 |- A = { <. x , y >. | ph }
2		df-opab 3998	. . . 4 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
3	1, 2	eqtri 2161	. . 3 |- A = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
4		vex 2692	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5		vex 2692	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	4, 5	opelvv 4597	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. ( _V X. _V )
7		eleq1 2203	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( _V X. _V ) <-> <. x , y >. e. ( _V X. _V ) ) )
8	6, 7	mpbiri 167	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> z e. ( _V X. _V ) )
9	8	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
10	9	exlimivv 1869	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
11	10	abssi 3177	. . 3 |- { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } C_ ( _V X. _V )
12	3, 11	eqsstri 3134	. 2 |- A C_ ( _V X. _V )
13		df-rel 4554	. 2 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14	12, 13	mpbir 145	1 |- Rel A

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   {cab 2126   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   <.cop 3535   {copab 3996   X. cxp 4545   Rel wrel 4552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554

This theorem is referenced by:  relopab  4674  mptrel  4675  reli  4676  rele  4677  relcnv  4925  cotr  4928  relco  5045  reloprab  5827  reldmoprab  5864  eqer  6469  ecopover  6535  ecopoverg  6538  relen  6646  reldom  6647  enq0er  7267  aprcl  8432  climrel  11081  brstruct  12007