Theorem relopabi 4882

Description: A class of ordered pairs is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
relopabi.1	|- A = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
relopabi	|- Rel A

Proof of Theorem relopabi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabi.1	. . . 4 |- A = { <. x , y >. | ph }
2		df-opab 4174	. . . 4 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
3	1, 2	eqtri 2255	. . 3 |- A = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
4		vex 2818	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5		vex 2818	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	4, 5	opelvv 4802	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. ( _V X. _V )
7		eleq1 2297	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( _V X. _V ) <-> <. x , y >. e. ( _V X. _V ) ) )
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> z e. ( _V X. _V ) )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
10	9	exlimivv 1948	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
11	10	abssi 3315	. . 3 |- { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } C_ ( _V X. _V )
12	3, 11	eqsstri 3272	. 2 |- A C_ ( _V X. _V )
13		df-rel 4758	. 2 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14	12, 13	mpbir 146	1 |- Rel A

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   {cab 2220   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   <.cop 3694   {copab 4172   X. cxp 4749   Rel wrel 4756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-opab 4174  df-xp 4757  df-rel 4758

This theorem is referenced by:  relopab  4883  mptrel  4885  reli  4886  rele  4887  relcnv  5142  cotr  5146  relco  5263  reloprab  6103  reldmoprab  6140  eqer  6801  ecopover  6869  ecopoverg  6872  relen  6981  reldom  6982  enq0er  7752  aprcl  8922  aptap  8926  climrel  11969  brstruct  13238