Theorem relopabi 4787

Description: A class of ordered pairs is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
relopabi.1	|- A = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
relopabi	|- Rel A

Proof of Theorem relopabi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabi.1	. . . 4 |- A = { <. x , y >. | ph }
2		df-opab 4091	. . . 4 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
3	1, 2	eqtri 2214	. . 3 |- A = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
4		vex 2763	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5		vex 2763	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	4, 5	opelvv 4709	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. ( _V X. _V )
7		eleq1 2256	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( _V X. _V ) <-> <. x , y >. e. ( _V X. _V ) ) )
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> z e. ( _V X. _V ) )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
10	9	exlimivv 1908	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
11	10	abssi 3254	. . 3 |- { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } C_ ( _V X. _V )
12	3, 11	eqsstri 3211	. 2 |- A C_ ( _V X. _V )
13		df-rel 4666	. 2 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14	12, 13	mpbir 146	1 |- Rel A

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   <.cop 3621   {copab 4089   X. cxp 4657   Rel wrel 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666

This theorem is referenced by:  relopab  4788  mptrel  4790  reli  4791  rele  4792  relcnv  5043  cotr  5047  relco  5164  reloprab  5966  reldmoprab  6003  eqer  6619  ecopover  6687  ecopoverg  6690  relen  6798  reldom  6799  enq0er  7495  aprcl  8665  aptap  8669  climrel  11423  brstruct  12627