Theorem relopabi 4576

Description: A class of ordered pairs is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
relopabi.1	|- A = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
relopabi	|- Rel A

Proof of Theorem relopabi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabi.1	. . . 4 |- A = { <. x , y >. | ph }
2		df-opab 3906	. . . 4 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
3	1, 2	eqtri 2109	. . 3 |- A = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
4		vex 2623	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5		vex 2623	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	4, 5	opelvv 4501	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. ( _V X. _V )
7		eleq1 2151	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( _V X. _V ) <-> <. x , y >. e. ( _V X. _V ) ) )
8	6, 7	mpbiri 167	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> z e. ( _V X. _V ) )
9	8	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
10	9	exlimivv 1825	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
11	10	abssi 3097	. . 3 |- { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } C_ ( _V X. _V )
12	3, 11	eqsstri 3057	. 2 |- A C_ ( _V X. _V )
13		df-rel 4459	. 2 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14	12, 13	mpbir 145	1 |- Rel A

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   {cab 2075   _Vcvv 2620   C_ wss 3000   <.cop 3453   {copab 3904   X. cxp 4450   Rel wrel 4457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-opab 3906  df-xp 4458  df-rel 4459

This theorem is referenced by:  relopab  4577  reli  4578  rele  4579  relcnv  4823  cotr  4826  relco  4942  reloprab  5711  reldmoprab  5747  eqer  6338  ecopover  6404  ecopoverg  6407  relen  6515  reldom  6516  enq0er  7055  climrel  10729  brstruct  11564