Theorem relopabi 4750

Description: A class of ordered pairs is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
relopabi.1	|- A = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
relopabi	|- Rel A

Proof of Theorem relopabi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabi.1	. . . 4 |- A = { <. x , y >. | ph }
2		df-opab 4063	. . . 4 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
3	1, 2	eqtri 2198	. . 3 |- A = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
4		vex 2740	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5		vex 2740	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	4, 5	opelvv 4674	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. ( _V X. _V )
7		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( _V X. _V ) <-> <. x , y >. e. ( _V X. _V ) ) )
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> z e. ( _V X. _V ) )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
10	9	exlimivv 1896	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) -> z e. ( _V X. _V ) )
11	10	abssi 3230	. . 3 |- { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } C_ ( _V X. _V )
12	3, 11	eqsstri 3187	. 2 |- A C_ ( _V X. _V )
13		df-rel 4631	. 2 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14	12, 13	mpbir 146	1 |- Rel A

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   <.cop 3595   {copab 4061   X. cxp 4622   Rel wrel 4629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-opab 4063  df-xp 4630  df-rel 4631

This theorem is referenced by:  relopab  4751  mptrel  4752  reli  4753  rele  4754  relcnv  5003  cotr  5007  relco  5124  reloprab  5918  reldmoprab  5955  eqer  6562  ecopover  6628  ecopoverg  6631  relen  6739  reldom  6740  enq0er  7429  aprcl  8597  aptap  8601  climrel  11279  brstruct  12461