Theorem cnvinfex 7277

Description: Two ways of expressing existence of an infimum (one in terms of converse). (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnvinfex.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnvinfex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   ph, y   ph, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)   B( x, y, z)   R( x, y, z)

Proof of Theorem cnvinfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvinfex.ex	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
2		vex 2806	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2806	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	brcnv 4919	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> y R x )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x `' R y <-> y R x ) )
6	5	notbid 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. x `' R y <-> -. y R x ) )
7	6	ralbidv 2533	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x ) )
8	3, 2	brcnv 4919	. . . . . . 7 |- ( y `' R x <-> x R y )
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y `' R x <-> x R y ) )
10		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
11	3, 10	brcnv 4919	. . . . . . . 8 |- ( y `' R z <-> z R y )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y `' R z <-> z R y ) )
13	12	rexbidv 2534	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y ) )
14	9, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
15	14	ralbidv 2533	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
16	7, 15	anbi12d 473	. . 3 |- ( ph -> ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
17	16	rexbidv 2534	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
18	1, 17	mpbird 167	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wral 2511   E.wrex 2512   class class class wbr 4093   `'ccnv 4730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-cnv 4739

This theorem is referenced by:  infvalti  7281  infclti  7282  inflbti  7283  infglbti  7284  infisoti  7291  infrenegsupex  9889  infxrnegsupex  11903