Theorem cnvinfex 6995

Description: Two ways of expressing existence of an infimum (one in terms of converse). (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnvinfex.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnvinfex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   ph, y   ph, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)   B( x, y, z)   R( x, y, z)

Proof of Theorem cnvinfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvinfex.ex	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
2		vex 2733	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2733	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	brcnv 4794	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> y R x )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x `' R y <-> y R x ) )
6	5	notbid 662	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. x `' R y <-> -. y R x ) )
7	6	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x ) )
8	3, 2	brcnv 4794	. . . . . . 7 |- ( y `' R x <-> x R y )
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y `' R x <-> x R y ) )
10		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
11	3, 10	brcnv 4794	. . . . . . . 8 |- ( y `' R z <-> z R y )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y `' R z <-> z R y ) )
13	12	rexbidv 2471	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y ) )
14	9, 13	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
15	14	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
16	7, 15	anbi12d 470	. . 3 |- ( ph -> ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
17	16	rexbidv 2471	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
18	1, 17	mpbird 166	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wral 2448   E.wrex 2449   class class class wbr 3989   `'ccnv 4610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619

This theorem is referenced by:  infvalti  6999  infclti  7000  inflbti  7001  infglbti  7002  infisoti  7009  infrenegsupex  9553  infxrnegsupex  11226