Theorem cnvinfex 6983

Description: Two ways of expressing existence of an infimum (one in terms of converse). (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnvinfex.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnvinfex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   ph, y   ph, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)   B( x, y, z)   R( x, y, z)

Proof of Theorem cnvinfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvinfex.ex	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
2		vex 2729	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2729	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	brcnv 4787	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> y R x )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x `' R y <-> y R x ) )
6	5	notbid 657	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. x `' R y <-> -. y R x ) )
7	6	ralbidv 2466	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x ) )
8	3, 2	brcnv 4787	. . . . . . 7 |- ( y `' R x <-> x R y )
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y `' R x <-> x R y ) )
10		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
11	3, 10	brcnv 4787	. . . . . . . 8 |- ( y `' R z <-> z R y )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y `' R z <-> z R y ) )
13	12	rexbidv 2467	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y ) )
14	9, 13	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
15	14	ralbidv 2466	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
16	7, 15	anbi12d 465	. . 3 |- ( ph -> ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
17	16	rexbidv 2467	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
18	1, 17	mpbird 166	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wral 2444   E.wrex 2445   class class class wbr 3982   `'ccnv 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-cnv 4612

This theorem is referenced by:  infvalti  6987  infclti  6988  inflbti  6989  infglbti  6990  infisoti  6997  infrenegsupex  9532  infxrnegsupex  11204