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Theorem cnvinfex 6871
Description: Two ways of expressing existence of an infimum (one in terms of converse). (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnvinfex.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
cnvinfex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    ph, y    ph, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)    B( x, y, z)    R( x, y, z)

Proof of Theorem cnvinfex
StepHypRef Expression
1 cnvinfex.ex . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
2 vex 2661 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3 vex 2661 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
42, 3brcnv 4690 . . . . . . 7  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x `' R
y  <->  y R x ) )
65notbid 639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  x `' R y  <->  -.  y R x ) )
76ralbidv 2412 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  <->  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
83, 2brcnv 4690 . . . . . . 7  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y `' R x 
<->  x R y ) )
10 vex 2661 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
113, 10brcnv 4690 . . . . . . . 8  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
1211a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y `' R
z  <->  z R y ) )
1312rexbidv 2413 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  B  y `' R
z  <->  E. z  e.  B  z R y ) )
149, 13imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z )  <->  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )
1514ralbidv 2412 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z )  <->  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )
167, 15anbi12d 462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  <-> 
( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) ) )
1716rexbidv 2413 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  <->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
181, 17mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wral 2391   E.wrex 2392   class class class wbr 3897   `'ccnv 4506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-opab 3958  df-cnv 4515
This theorem is referenced by:  infvalti  6875  infclti  6876  inflbti  6877  infglbti  6878  infisoti  6885  infrenegsupex  9341  infxrnegsupex  10983
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