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Theorem cnvinfex 6657
Description: Two ways of expressing existence of an infimum (one in terms of converse). (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnvinfex.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
cnvinfex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    ph, y    ph, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)    B( x, y, z)    R( x, y, z)

Proof of Theorem cnvinfex
StepHypRef Expression
1 cnvinfex.ex . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
2 vex 2618 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3 vex 2618 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
42, 3brcnv 4587 . . . . . . 7  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x `' R
y  <->  y R x ) )
65notbid 625 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  x `' R y  <->  -.  y R x ) )
76ralbidv 2376 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  <->  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
83, 2brcnv 4587 . . . . . . 7  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y `' R x 
<->  x R y ) )
10 vex 2618 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
113, 10brcnv 4587 . . . . . . . 8  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
1211a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y `' R
z  <->  z R y ) )
1312rexbidv 2377 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  B  y `' R
z  <->  E. z  e.  B  z R y ) )
149, 13imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z )  <->  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )
1514ralbidv 2376 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z )  <->  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )
167, 15anbi12d 457 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  <-> 
( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) ) )
1716rexbidv 2377 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  <->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
181, 17mpbird 165 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wral 2355   E.wrex 2356   class class class wbr 3820   `'ccnv 4410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3821  df-opab 3875  df-cnv 4419
This theorem is referenced by:  infvalti  6661  infclti  6662  inflbti  6663  infglbti  6664  infisoti  6671  infrenegsupex  9014
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