Theorem cnvinfex 6913

Description: Two ways of expressing existence of an infimum (one in terms of converse). (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnvinfex.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnvinfex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   ph, y   ph, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)   B( x, y, z)   R( x, y, z)

Proof of Theorem cnvinfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvinfex.ex	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
2		vex 2692	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2692	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	brcnv 4730	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> y R x )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x `' R y <-> y R x ) )
6	5	notbid 657	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. x `' R y <-> -. y R x ) )
7	6	ralbidv 2438	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x ) )
8	3, 2	brcnv 4730	. . . . . . 7 |- ( y `' R x <-> x R y )
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y `' R x <-> x R y ) )
10		vex 2692	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
11	3, 10	brcnv 4730	. . . . . . . 8 |- ( y `' R z <-> z R y )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y `' R z <-> z R y ) )
13	12	rexbidv 2439	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y ) )
14	9, 13	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
15	14	ralbidv 2438	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
16	7, 15	anbi12d 465	. . 3 |- ( ph -> ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
17	16	rexbidv 2439	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
18	1, 17	mpbird 166	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wral 2417   E.wrex 2418   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-cnv 4555

This theorem is referenced by:  infvalti  6917  infclti  6918  inflbti  6919  infglbti  6920  infisoti  6927  infrenegsupex  9416  infxrnegsupex  11064