Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infrenegsupex Unicode version

Theorem infrenegsupex 9415
 Description: The infimum of a set of reals is the negative of the supremum of the negatives of its elements. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infrenegsupex.ex
infrenegsupex.ss
Assertion
Ref Expression
infrenegsupex inf
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem infrenegsupex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 7867 . . . . . 6
21adantl 275 . . . . 5
3 infrenegsupex.ex . . . . 5
42, 3infclti 6917 . . . 4 inf
54recnd 7817 . . 3 inf
65negnegd 8087 . 2 inf inf
7 negeq 7978 . . . . . . . . 9
87cbvmptv 4031 . . . . . . . 8
98mptpreima 5039 . . . . . . 7
10 eqid 2140 . . . . . . . . . 10
1110negiso 8736 . . . . . . . . 9
1211simpri 112 . . . . . . . 8
1312imaeq1i 4885 . . . . . . 7
149, 13eqtr3i 2163 . . . . . 6
1514supeq1i 6882 . . . . 5
1611simpli 110 . . . . . . . . 9
17 isocnv 5719 . . . . . . . . 9
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8
19 isoeq1 5709 . . . . . . . . 9
2012, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8
2118, 20mpbi 144 . . . . . . 7
2221a1i 9 . . . . . 6
23 infrenegsupex.ss . . . . . 6
243cnvinfex 6912 . . . . . 6
252cnvti 6913 . . . . . 6
2622, 23, 24, 25supisoti 6904 . . . . 5
2715, 26syl5eq 2185 . . . 4
28 df-inf 6879 . . . . . . 7 inf
2928eqcomi 2144 . . . . . 6 inf
3029fveq2i 5431 . . . . 5 inf
31 eqidd 2141 . . . . . 6
32 negeq 7978 . . . . . . 7 inf inf
3332adantl 275 . . . . . 6 inf inf
345negcld 8083 . . . . . 6 inf
3531, 33, 4, 34fvmptd 5509 . . . . 5 inf inf
3630, 35syl5eq 2185 . . . 4 inf
3727, 36eqtr2d 2174 . . 3 inf
3837negeqd 7980 . 2 inf
396, 38eqtr3d 2175 1 inf
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  crab 2421   wss 3075   class class class wbr 3936   cmpt 3996  ccnv 4545  cima 4549  cfv 5130   wiso 5131  csup 6876  infcinf 6877  cc 7641  cr 7642   clt 7823  cneg 7957 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-ltxr 7828  df-sub 7958  df-neg 7959 This theorem is referenced by:  supminfex  9418  minmax  11032  infssuzcldc  11678
 Copyright terms: Public domain W3C validator